Supongamos que $\mathcal{C}$ es una categoría y $f: A \rightarrow B $ es un morfismo de un objeto $A$ a otro objeto $B$ tal que $f_*:Hom(C,A) \to Hom(C,B)$ es biyectiva $\forall C \in ob(\mathcal{C})$ . ¿Se puede concluir que $f$ ¿es una equivalencia? Puedo ver que $\exists g: B \to A$ tal que $fg=id_B$ pero soy incapaz de encontrar un $h$ tal que $hf=id_A$ . Podemos suponer que la categoría es pequeña si eso ayuda. Si no es cierto, ¿cómo podemos encontrar un contraejemplo? Gracias
Respuesta
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Sí, efectivamente, acabas de encontrar el famoso Lemma de Yoneda ( http://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma ). Concretamente, mientras que usted sólo necesitaba surjectivity de $f_{\ast}$ para deducir la existencia de $g: B\to A$ con $fg=\text{id}_B$ puede utilizar inyectabilidad para deducir de $f_{\ast}(gf)=f(gf)=(fg)f=\text{id}_B\ f=f\ \text{id}_A=f_{\ast}(\text{id}_A)$ que $gf=\text{id}_A$ también, por lo tanto $g$ es un inverso de dos lados de $f$ .
Apéndice relativo a la relación con el lema de Yoneda:
El Lema de Yoneda dice que para cualquier categoría ${\mathscr C}$ el functor de Yoneda $${\mathbb Y}: {\mathscr C}\to\text{Func}({\mathscr C}^{\text{op}},\textsf{Set}), \quad X\mapsto{\mathbb Y}(X) := \text{Hom}_{{\mathscr C}}(-,X)$$ es totalmente fiel. En particular, como cualquier functor totalmente fiel, refleja los isomorfismos.
Ahora, su suposición es que para todos $C\in{\mathscr C}$ el mapa $f_{\ast}:\text{Hom}_{\mathscr C}(C,X)\to \text{Hom}_{\mathscr C}(C,Y)$ es biyectiva, lo que significa que el morfismo ${\mathbb Y}(f): {\mathbb Y}(X)\to{\mathbb Y}(Y)$ de los funtores ${\mathscr C}^{\text{op}}\to\textsf{Set}$ es un isomorfismo puntual. Sin embargo, los isomorfismos puntuales de funtores ya son isomorfismos (compruébalo), así que tu suposición implica que ${\mathbb Y}(f)$ es un isomorfismo, y por lo tanto también lo es $f$ .
