Medición de $\xi$ en el teorema del valor medio

Question

Supongamos que $f\in C^1(\mathbb{R})$ por el teorema del valor medio, para cualquier $x\in (0,\infty)$ existe $\xi(x)\in (0,x)$ tal que $$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\xi(x)).$$ Mi pregunta es:

Pregunta : Puede $\xi(x)$ siempre se elige una función medible en $x$ ?

Answer 1

Resulta que puedes salirte con la tuya con las tres que mencioné en los comentarios (siendo Borel, por supuesto, la más restrictiva). Sin embargo, el argumento que tengo en mente para encontrar un medible de Borel $\xi$ utiliza una teoría de conjuntos descriptiva algo profunda: Arsenin, Kunugui uniformización para las relaciones de Borel con $K_\sigma$ secciones (Ver Kechris' Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Teorema 35.46 ). Sin embargo, esto es probablemente excesivo, y me gustaría mucho ver una solución más elemental.

Para invocar este teorema, hay que comprobar que el conjunto $$ A = \{(x,y) : 0 < x < \infty \ \ \mathrm{ and } \ \ 0 < y < x \ \ \mathrm{ and } \ \ (f(x) - f(0))/x = f'(y)\} $$ es un subconjunto de Borel de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ que se deduce de la continuidad de $f$ y $f'$ . Además, hay que comprobar que para cada $x$ el conjunto $\{y : (x,y) \in A\}$ es una unión contable no vacía de conjuntos compactos. De nuevo se aprovecha la continuidad de $f'$ ya que el conjunto $\{y : 1/n \leq y \leq x - 1/n \ \ \mathrm{ and } \ \ f'(y) = c\}$ es compacto para cada $c$ y el teorema del valor medio asegura que $\{y : 1/n \leq y \leq x - 1/n \ \ \mathrm{ and } \ \ f'(y) = (f(x) - f(0))/x\}$ es no vacía para algún $n$ . Se obtiene entonces una función uniformizadora medible de Borel $\xi$ tal que $(x, \xi(x)) \in A$ para todos $x \in (0, \infty)$ .

Obsérvese que si sólo se desea la mensurabilidad de Lebesgue o de Baire, se puede salir airoso con un teorema de uniformización algo más elemental (Jankov, von Neumann: Kechris 18.1 ). De nuevo, esto parece un mazo, así que espero que alguien vea un argumento mejor.

Answer 2

Que tal: Definir $\xi(x)$ como el menor número $\xi$ tal que $$ \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\xi) $$ Desde el $C^1$ hipótesis que conocemos $f'$ es continua.

Eso no funciona del todo, porque podemos obtener $\xi(x) = 0$ a veces.

OK, define $\xi(x)$ como el menor número $\xi \ge x/2$ tal que $$ \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\xi) $$ si existe tal $\xi$ , en caso contrario, el mayor número $\xi \le x/2$ tal que $$ \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\xi) $$