Explicar la convergencia de $\int_{0}^{1} \sin \left(\frac{1}{x} \right) \, dx$ utilizando las propiedades de singularidades esenciales

Question

Porque la función $\frac{1}{z}$ tiene un polo en $z=0$, la integral $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x}$ no converge.

Por otra parte, el integral $\int_{0}^{1} \sin \left(\frac{1}{x} \right) \, dx$ converge a pesar de la función $\sin \left(\frac{1}{z} \right)$ tiene una singularidad esencial en $z=0$.

¿Puede una singularidad esencial una singularidad más débil que un polo?

Editar:

Originalmente tenía $\int_{0}^{1} \sin \left(\frac{1}{x^{2}} \right) \, dx$ (que converge a pesar del hecho que $\sin \left(\frac{1}{z^{2}} \right)$ tiene una singularidad esencial en $z=0$).

Answer 1

Esencial singularidades tienen la propiedad de ser pequeños y grandes, cerca de la singularidad (ver la Picard Teoremas o, como Martin comentarios, la Casorati-Weierstrass Teorema). En este caso, hemos elegido un camino a la singularidad, donde su tamaño no es grande.

Si en lugar de ello, se eligió el enfoque a lo largo de la línea de $z=(1+i)t$ ($t\in\mathbb{R}$), entonces $$\sin\left(\frac1{z^2}\right)=-i\sinh\left(\frac1{2t^2}\right)$$ que crece muy rápido cerca de $z=0$, más rápido que cualquier potencia de $\left|\frac1z\right|$.

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Para la modificación de la pregunta

Enfoque a lo largo de la línea de $z=it$ ($t\in\mathbb{R}$), entonces $$\sin\left(\frac1z\right)=-i\sinh\left(\frac1t\right)$$ que crece muy rápido cerca de $z=0$, más rápido que cualquier potencia de $\left|\frac1z\right|$.