Puede $\sum_1^n 1/k$ arreglar para que sea un número entero para infinitamente muchos $n?$

Question

Que bien sabe que cuando $n>1:$

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\not\in \mathbb{N}$ $ Pero si se nos permite cambiar la serie, podemos por ejemplo pueden conseguir:

$$\frac{1}{1}\in\mathbb{N},\quad\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\in\mathbb{N},\quad \dots\;?$$

Tal vez hay otro obvio que no lo veo.

Pregunta: ¿Puede la serie armónica ordenarse de modo tal que sus sumas parciales infinitamente muchos números enteros?

Answer 1

Respuesta : SÍ. Se desprende de la Erdös-Graham conjetura, que se demostró en 2003 por Ernest E. Croot como indica Wikipedia.

No sé si existe más de una prueba directa. [EDIT : hay, como se explica en Erick Wong comentario más abajo].

(Si no es obvio cómo se desprende de la Erdös-Graham conjetura, considere la posibilidad de un colorante de los enteros que utiliza $n$ colores diferentes, uno para cada número entero entre $2$$n$, y el último de color para todos los enteros $>n$. Esto muestra que (1) no hay Egipcio fracciones suma a $1$ con arbitrariamente grandes denominadores. De ello se sigue que (2) Para cualquier entero $a>0$, hay Egipcio fracciones suma a $a$ con arbitrariamente grandes denominadores, y, por tanto, que (3) para cualesquiera dos enteros $a,b>0$, hay Egipcio fracciones suma a $\frac{a}{b}$ con arbitrariamente grandes denominadores).

Answer 2

Sí, esto es posible.

Empezar con $1=1/1$. Ahora que hemos utilizado a lo $1$, por lo que la cruz que fuera. Entonces a partir de la $1$ es tachada, escribir $1-1/2=1/2$; $1/2-1/3=1/6$; $1=1/2+1/3+1/6$, y entre los $2$, $3$, y $6$. A continuación, $1-1/4=3/4$ (desde $1$, $2$, y $3$ son tachados); $3/4-1/5=11/20$; $11/20-1/7=57/140$ (desde $6$ es tachada); etc.

Así, en cada etapa, estamos tratando de descomponer $1$ en fracciones Egipcias, pero con ciertas fracciones (los que ya hemos usado) prohibido. Vamos a utilizar el algoritmo voraz para ello. Debemos mostrar dos cosas: en primer lugar, que cada etapa eventualmente termina -- a la que llegamos $1$, y pasar a la siguiente etapa. En segundo lugar, que cada Egipcio fracción se utiliza en algún momento.

Para el primero de estos, supongamos que en una determinada fase en la que nos han prohibido establecer $S$, y que en un determinado paso de la etapa en la que el número restante de la izquierda es $r/s$. (Tenga en cuenta que debido a la configuración, estamos a sólo el siempre tratar con fracciones en la mayoría de las $1$, lo $r\le s$.) Vamos a restar fuera una fracción $1/k$. Normalmente, tendríamos $k\le \frac{s}{r} + 1$, pero ya tenemos una prohibido establecer $S$, todo lo que sabemos es $k\le \frac{s}{r} + |S| + 1$. Eso es todavía suficiente para deducir que el $1/k \ge \frac{r}{s+(|S|+1)r} \ge \frac{r}{(|S|+2)s}$; es decir, estamos cortar al menos una fracción constante de nuestra fracción en cada paso, así que irá a cero (incluso si el proceso nunca termina).

Pero eso significa que finalmente va a ser menos de $1/M$ donde $M$ es el elemento más grande de $S$; y más allá de ese punto, simplemente aplicando el algoritmo voraz como normal, lo que sabemos de los rendimientos de un número finito de Egipcio fracción de expansión. Esto prueba la primera parte.

La segunda parte puede ser probado por el fuerte de inducción. Supongamos que queremos demostrar que las $1/n$ con el tiempo se acostumbra; suponga que el $1/m$ se utiliza para cada una de las $m<n$. A continuación, en la siguiente etapa después de todos estos son utilizados, $1/n$ será la primera fracción se utiliza.

(Nota, por cierto, que ya que estamos en repetidas ocasiones de la descomposición de la $1$, no solo vamos a golpear infinitamente muchos enteros, vamos a golpear cada entero positivo.)

Por cierto, he calculado las tres primeras etapas del proceso anterior; los números utilizados son de la siguiente manera:

Primera etapa: 1

Segunda etapa: 2, 3, 6

Tercera etapa: 4, 5, 7, 8, 9, 10, 15, 230, 57960