Un $2 \times 2$matriz $A$ tal que $A^n$ es la matriz identidad

Question

Así que, básicamente, determinar una matriz de #% de $2 \times 2$% #% que $A$ es una matriz de identidad, pero ninguno de $A^n$ es la matriz identidad. (Sugerencia: pensar geométricas asignaciones)

No entiendo esta pregunta, alguien puede ayudar por favor?

Answer 1

Sugerencia: Gire a través de $\frac{2\pi}{n}$.

Answer 2

Cualquier matriz diagonal con entradas que son primitivos $n$ th raíces de la unidad claramente tiene esas propiedades.

Answer 3

Aquí una linda manera de ver las cosas: vamos a

$J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}; \tag{1}$

entonces

$J^2 = -I. \tag{2}$

A partir de (1) y (2) se deduce que

$((\cos \theta)I + (\sin \theta)J)^n = ((\cos n \theta)I + (\sin n \theta)J); \tag{3}$

la prueba de (3) es prácticamente idéntica a la de de Moivre de la fórmula (véase http://en.m.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula); de hecho, la algebraicas maniobras son esencialmente el mismo en ambos casos. Tomando nota de que

$(\cos \theta)I + (\sin \theta)J = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {bmatrix}, \tag{4}$

se sigue de (3) que

$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}. \tag{5}$

Ahora establecimiento $\theta = \frac{2 \pi}{n}$, nos vamos a

$A = \begin{bmatrix} \cos \frac{2 \pi}{n} & -\sin \frac{2\pi}{n} \\ \sin \frac{2\pi}{n} & \cos \frac{2\pi}{n} \end{bmatrix}, \tag{6}$

y vemos de (5) que

$A^n = \begin{bmatrix} \cos 2\pi & -\sin 2\pi \\ \sin 2\pi & \cos 2\pi \end{bmatrix} = I, \tag{7}$

mientras que para $k$, $1 \le k \le n -1$,

$A^k = \begin{bmatrix} \cos \frac{2\pi k}{n} & -\sin \frac{2\pi k}{n} \\ \sin \frac{2\pi k}{n} & \cos \frac{2 \pi k}{n} \end{bmatrix} \ne I, \tag{8}$

establecer el resultado deseado.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

* Fiat Lux!!!*