¿Se puede definir un operador de aceleración en mecánica cuántica?

Question

Parece que la mayoría de los libros acerca de QM sólo hablar acerca de la posición y el impulso de los operadores. Pero ¿no es también posible definir una aceleración de operador?

Pensé en hacerlo de la siguiente manera, a partir de la definición del impulso del operador:

$\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x}$

Entonces podemos definir una velocidad operador en analogía con la mecánica clásica mediante la división de impulso por la masa de $m$

$\hat{v} = \frac{-i\hbar}{m} \frac{\partial }{\partial x}$

En la mecánica clásica la aceleración se define como el tiempo derivada de la velocidad, así que supongo que para una aceleración del operador en QM sería

$\hat{a} = \frac{-i\hbar}{m} \frac{\partial }{\partial t} \frac{\partial }{\partial x}$

Es que la correcta definición de la aceleración del operador en QM? ¿Y relativista de la mecánica cuántica?

Answer 1

Creo que podría intentar acercarse a esta en la imagen de Heisenberg.

El tiempo derivado de la posición del operador es:

$$\dfrac{d \hat x}{dt} = \dfrac{i}{\hbar}[\hat H, \hat x]$$

que es una razonable velocidad del operador. El tiempo derivado de la velocidad del operador es entonces:

$$\dfrac{d^2 \hat x}{dt^2} = \dfrac{i}{\hbar}[\hat H, \dfrac{d \hat x}{dt}]$$

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Por ejemplo, considere una partícula libre, de modo que $\hat H = \frac{\hat P^2}{2m}$. La velocidad del operador, a continuación, ser $\frac{\hat P}{m}$. Esto ciertamente parece razonable ya que es la forma de la clásica $\vec v = \frac{\vec p}{m}$ relación.

Pero, tenga en cuenta que la velocidad del operador conmuta con este Hamiltoniano para el colector en la definición de la aceleración del operador es de 0. Pero que es lo que debe ser, ya que estamos suponiendo que el Hamiltoniano de un libre de partículas que significa que no hay ninguna fuerza que actúe sobre él.

Ahora, considere la posibilidad de una partícula en un potencial para que $\hat H = \frac{\hat P^2}{2m} + \hat U$. La velocidad del operador, para este sistema, se $\frac{\hat P}{m} + \frac{i}{\hbar}[\hat U, \hat x]$.

Suponiendo que el potencial no es una función de impulso, el colector es cero y la velocidad del operador es el mismo que para la partícula libre.

La aceleración de operador, a continuación,$\dfrac{i}{\hbar}[\hat U, \frac{\hat P}{m}]$.

En la posición de base, este operador es sólo $\frac{-\nabla U(\vec x)}{m} $ que se parece a la aceleración de un clásico de la partícula de masa m en un potencial dado por $U(\vec x)$.