¿Herramientas para el programa de Langlands?

Question

Hola,

Sé que esto puede ser un poco vago, pero me preguntaba ¿cuáles son los hipotéticos herramientas necesarias para resolver los Langlands conjeturas (el original de instrucciones o la "geometic" analógica). A lo que me refiero es la siguiente: para las Conjeturas de Weil se hizo evidente que, con el fin de demostrar que ellos, era necesario desarrollar un maravilloso cohomology teoría que explicaría Weil observaciones. Por supuesto, todos sabemos que etale cohomology es que maravillosa herramienta. Por analogía, lo de "caja negra" herramientas son necesarias para el programa de Langlands? En términos generales ¿qué herramientas necesitamos para el programa de Langlands?

Curioso estudiante de posgrado, Ben

Answer 1

Hay todo tipo de problemas con el Langlands conjeturas de que nosotros (que yo sepa) no tiene ninguna idea en absoluto de cómo se enfoque. Como un ejemplo muy simple de un problema para $GL(2)$ sobre $\mathbf{P}$ que no podemos hacer, piense en esto: no debe ser un canónica bijection entre continuo incluso (es decir, det(complejo conj)=+1) irreductible 2-representaciones tridimensionales $Gal(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\a GL(2,\mathbf{C})$ y la normalización de los algebraicas cuspidal Maass nueva eigenforms en la mitad superior del plano. Esta es una especie de no-holomorphic análogo de la Deligne-Serre teorema que relaciona el extraño irreductible de representaciones de Galois a holomorphic peso 1 newforms. Una manera de clavar este bijection es que, dado un Maass newform, a continuación, para todos los números primos p $$ no dividiendo el nivel, el autovalor de $T_p$ (debidamente normalizado) debe ser la huella de la representación que se evalúa en la Frobenius elemento en el grupo de Galois.

Quieres una caja negra que va a resolver todos Langlands---entonces usted necesita una caja negra que va a resolver esto. Por desgracia a mí me parece que en primer lugar, usted necesitará varias buenas nuevas ideas para resolver incluso en este caso simple, y en segundo lugar, existe más de una estrategia y no está claro lo que va a trabajar primero. Como ejemplos de los problemas que uno enfrenta: dada la Galois de la representación, que es sólo un trozo de álgebra---una cantidad finita de datos. Sin embargo es el que va a construir un montón de análisis de ella?? Una forma podría ser a través de la teoría de cambio de base, que funciona de maravilla para cíclico de las extensiones, y sólo lo suficiente ha sido desarrollado con el fin de resolver el problema de representaciones de Galois con solucionable imagen (uno utiliza mucho más que la declaración de que el grupo es solucionable---uno de los usos que también es "pequeño"---esto no es sólo formal consecuencia de la cíclica del cambio de base). Este es el Langlands-Tunnell teorema, que da la Maass de la forma de Galois de la representación si se ha solucionable imagen. En el no solucionable caso de que uno puede soñar no solucionable cambio de base, pero no solucionable cambio de base es realmente nada más que un sueño en este momento. Así que hay una gran caja negra, pero que sólo va a resolver una dirección de un pequeño fragmento de la Langlands conjeturas.

Ahora, ¿qué hay de otra manera? Bueno, aquí estamos aún más en la oscuridad. Dada una expresión algebraica Maass forma, que ni siquiera se puede demostrar que su Hecke autovalores son números algebraicos, mucho menos la suma de las dos raíces de la unidad. En el holomorphic de forma modular caso se pueden obtener las bases de los espacios de formas utilizando, por ejemplo, coherente cohomology el sistema modular de la curva considerada como una curva algebraica de más de $\mathbf{P}$, o (en pesos 2 o más) singular cohomology de un (normalmente no trivial) sistema local en la curva. Estas dos máquinas de producir $\mathbf{P}$-espacios vectoriales con Hecke acciones, y por lo tanto char de polígonos están en $\mathbf{Q}[x]$ y así autovalores son algebraicas. Pero con algebraicas Maass formas no tenemos ese lujo. No son cohomological, así que no podemos esperar para verlos en singular cohomology de un sistema local, y no son holomorphic, así que no podemos esperar para verlos en coherente cohomology. Así que, vagamente hablando, necesita una caja negra que, dadas ciertas finito-dimensional complejo espacios vectoriales con Hecke acciones, produce finito-dimensional $\mathbf{P}$-espacios vectoriales de la nada, que cuando tensored hasta los complejos nos devuelven nuestros grupos. La gente ha intentado el uso de cambio de base para ello, o en otros casos conocidos de functoriality, pero todo lo que hasta ahora ha fallado y no es claro para mí que tiene un conjetural enfoque para hacer esta dirección. Y estoy hablando sólo de demostrar que los valores propios son algebraicas---ni siquiera acercarse a la fijación de la Galois representación!

Así que una vaga caja negra "no abelian cambio de base", y un problema difícil que yo sepa, nadie tiene ideas acerca de, y, si pone a estos en conjunto, resolver una teeny tiny insy winsy pequeña parte de el programa de Langlands. Hace que las conjeturas de Weil mirada como un paseo en el parque!

Answer 2

No sé mucho acerca de el programa de Langlands, pero si hay una herramienta que parece venir mucho geométrica Langlands, es perverso poleas. Usted ve un montón de singular algebraica de las variedades geométricas Langlands, y perverso gavillas se entiende como un singular generalización de un vector paquete con un plano de la conexión. Ordinario de las poleas son ya una singular generalización de vector de paquetes, pero no la más relevante. Perverso poleas (que son a base de poleas, pero no con poleas de sí mismos) son más a propósito de la generalización que se incorpora y ordenación del justo es la intersección (co)homología.

También puedo decir que yo no iba a aprender acerca de la perversa poleas hasta que tuve. Sin embargo, ahora he visto varios documentos importantes, en los relacionados con la categorification programa, que leer de esta manera: "Perversa poleas + restricciones necesarias = una buena solución". Así que ahora yo podría estar acostumbrándose a ellos. También puedo ver que incluso el formalismo de la perversa poleas o de la intersección de homología es casi inevitable. En algunas de las construcciones más simples, las variedades (más de $\mathbb{C}$, por ejemplo) son no-singular y ciertas respuestas surgen como ordinario cohomology de los productos o de la intersección de los productos. Por ejemplo, el Schubert de cálculo en un Grassmannian colector. ¿Qué elección tiene si el Grassmannian es reemplazado por una singular variedad de $X$? Para algunos de estos categorification/Langlands preguntas, puede proponer respuestas incorrectas, o ad hoc respuestas, o usted puede obtener de forma automática la respuesta correcta mediante el uso de intersección de homología en $X$. (Con medio perversidad, como dicen.)

Answer 3

Esta respuesta se aborda el clásico programa de Langlands (si lo desea, el programa de Langlands para los campos de número).

Hay (al menos) dos aspectos de este programa:

(a) functoriality: este es Langlands original conjetura, explica en la carta para Weil, y desarrollado en "Problemas en la teoría de la automorphic formas" y después de la escritura. Es una conjetura puramente acerca de automorphic formas. Langlands se ha descrito un enfoque para la prueba en general es sus papeles en el tema de "Más allá de la endoscopia" (disponible en línea en sus obras completas).

Una prueba de functoriality implicaría, entre otras cosas, la no solución de base de cambiar discutido en Kevin respuesta.

Parece que para la "más allá de la endoscopia" programa para trabajar como Langlands prevé que a uno le necesidad desconocido (y aparentemente fuera de su alcance) resultados en la teoría analítica de números de $L$-funciones.

(b) reciprocidad: esta es la conjetura relación entre automorphic formas y Galois representaciones/motivos. Tiene dos pasos: instalación de representaciones de Galois, o incluso motivos, a (cierto) automorphic formas, y, por el contrario, mostrando que todos Galois representaciones de los motivos que surgen de esta manera. (Esta conversar dirección normalmente incorpora la Fontaine--Mazur conjetura así, que postula una puramente Galois de la teoría de criterio para cuando un Galois representación debe surgir a partir de un motivo.)

Si uno se da la dirección automorphic a Galois, entonces hay algunas técnicas para deducir la inversa de la dirección, a saber, el de Taylor--Wiles método. Sin embargo, este el método no es una máquina que aplica automáticamente cada vez que uno tiene la automorphic a Galois dirección disponibles; en particular, no parece aplicar en cualquier manera sencilla de representaciones de Galois/motivos por los que algunos $h^{p,q}$ es mayor que 1 (en más de Galois de la teoría de términos, que han irregular Hodge--Tate pesos). Así, en particular, aunque uno podría adjuntar Galois representaciones de (ciertos) Maass formas, uno todavía tiene el problema de demostrar que todos, incluso de 2 dimensiones Artin representación de $G_{\mathbb Q}$ se plantea en este camino.

En cuanto a la construcción de representaciones de Galois conectado a automorphic formas, aquí el la idea es utilizar Shimura variedades, y uno puede esperar que, con el lema fundamental ahora demostrado, uno será capaz de obtener una descripción bastante completa de la Galois las representaciones que aparecen en la cohomology de Shimura variedades. (Aquí se también será capaz de tomar ventaja de los recientes avances en la comprensión de la integral de los modelos de de Shimura variedades, gracias a personas como Harris y Taylor, Mantovan, Shin, Morel, y Kisin, en diferentes contextos.)

El principal problema aquí es que, no sólo no todas automorphic formas de contribuir a cohomology (por ejemplo, formas de Maass, como se discutió en la de Kevin de la respuesta), pero también, no todos los automorphic formas aparecen en cualquier Shimura variedad contexto. Desde Shimura variedades son actualmente el único juego en la ciudad para pasar de automorphic formas de representaciones de Galois, la gente está pensando mucho acerca de cómo pasar de un contexto dado para un Shimura variedad contexto, mediante la aplicación de functoriality (por ejemplo, Taylor construcción de Galois reps. vinculado a ciertas cuspforms en $GL_2$ de una ecuación cuadrática imaginario de campo), o tratando de desarrollar nuevas ideas, tales como $p$-ádico functoriality. Aunque sin duda hay ideas aquí, y uno puede esperar de algunos avances, las preguntas parecen a ser duro, y no hay una caja negra que va a resolver todo.

En particular, uno podría imaginar tener functoriality como una caja negra, y preguntando si se puede a continuación se derivan de la reciprocidad. (Piense en la manera en que Langlands--Tunnell jugado un papel crucial en la prueba de la modularidad de curvas elípticas.) Langlands ha pedido este en varias ocasiones. La respuesta no parece ser cualquier tipo de fácil sí.