¿Por qué damos $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ la topología inducida por los seminorms buena?

Question

Brevemente, mi pregunta se reduce a la siguiente: ¿Qué beneficios obtenemos de considerar el espacio de funciones de prueba en la topología inducida por todos los "buenos" seminorms, frente a otras topologías que son más comunes o más fáciles de describir?

Más precisamente:

Tan lejos como yo lo entiendo, la topología en el espacio $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ de las funciones de prueba es generalmente construido de la siguiente manera:

• Para cada compacto $K \subset \mathbb{R}^d$ definimos el "suave topología" en la $C_c^\infty(K)$ a ser la topología generada por la familia de seminorms $\{\|\cdot\|_{C^k(K)}\}_{k \in \mathbb{N}}$ donde $\|\cdot\|_{C^k(\mathbb{R}^d)}$ está definido por

$$ \| f \|_{C^k(K)} = \sup_{x \in \mathbb{R}^d} \left\{ \sum_{j=0}^k \left|\nabla^j f(x)\right| \right\} $$

• A continuación definimos un seminorm $\| \cdot \|$ $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ "bueno" si, para cada compacto $K \subset \mathbb{R}^d$, es continua la función en $C_c^\infty(K)$ con respecto a la suave topología.

• Finalmente, se topologise $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ dándole la topología inicial inducida por la familia de $\mathscr{G}$ de todas las buenas seminorms.

(La construcción de arriba es la dada por el Prof. Tao aquí en su blog. Errores en la reproducción de arriba son mías.)

Lo que me gustaría saber es:

1. Cómo es la topología inducida por la "buena" seminorms diferente de la inducida por la familia de $\mathscr{F} = \left\{ \|\cdot\|_{C_c^k(\mathbb{R}^d)} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$. Yo creo que nosotros tenemos la inclusión $\mathscr{F} \subset \mathscr{G}$, y realmente no puedo decir lo que la ganancia por la consideración del " otro buen seminorms.

De hecho, no estoy muy seguro de lo que la otra buena seminorms aspecto. Parece que podemos obtener algunas buenas seminorms considerando funcionales de la forma

$$ \eta(f) = \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)g(x)| ~dm(x) $$

adecuados para las funciones de $g$. Pero de nuevo, no estoy seguro de lo que estas contribuyen.

2. Si la topología inducida por $\mathscr{F}$ es diferente de la inducida por $\mathscr{G}$, ¿por qué preferimos el último?

Cualquier visión será muy apreciada.

Answer 1

Hay muchas formas equivalentes para la construcción de la topología en $C^\infty_c(\Bbb{R^d})$ que hace un LF-espacio. Yo no estoy familiarizado con el Tao del método, pero he mirado en una construcción diferente que debe ser equivalente, y en mi opinión es muy intuitiva.

En primer lugar, hemos establecido nuestro objetivo será encontrar una topología en $C^\infty_c(\Bbb{R^d})$ que hace un localmente convexo completo espacio vectorial topológico.

Ahora, ¿cómo nos aseguramos de que las secuencias de las funciones de prueba de la convergencia a las funciones de prueba? Tenemos que asegurarnos de que el límite es lisa y compacta compatible. Veamos el subespacio $C^\infty_c(K)$ primera. En este espacio, el único problema de la convergencia en realidad es sólo la suavidad de la función de límite.

¿Cómo podemos topologise $C^\infty_c(K)$ ? Primera ingenua idea podría ser la de utilizar el sup-norma, pero que rápidamente ver que las funciones de prueba puede convergen uniformemente a la no-función suave. Pero si $(\varphi)_i$ es una secuencia de funciones de prueba y para la convergencia requerimos que $D^\alpha \varphi_i \to g_\alpha$ de manera uniforme para todos los multiindices $\alpha$, podemos ver que $(\varphi_i)$ luego converge a una función de prueba. ¿Qué es la topología? Así, si la función de $p_\alpha: C^\infty_c(K) \to \Bbb{R}$, $$ p_\alpha(\varphi) = \sup_{x \in K} \{ |D^\alpha \varphi(x)|\}\,, $$ es continua para todos los multiindices $\alpha$, nuestra topología tiene la quería convergencia de la propiedad. Así, por $C^\infty_c(\Bbb{R^d})$ elegimos la topología inducida por la seminorms $(p_\alpha)_{\alpha \in \Bbb{N}_0^d}$.

Ahora, de vuelta a $C^\infty_c(\Bbb{R^d})$. Podríamos intentar utilizar la topología inducida por las extensiones de $p_\alpha$, es decir, la seminorms $p_\alpha: C^\infty_c(\Bbb{R^d}) \to \Bbb{R}$, pero con esta topología el "límite de la función" no es necesariamente de forma compacta compatible. Tomar cualquier $\varphi \in C^\infty_c(\Bbb{R^d})$ que no es la función cero y considere la secuencia que consta de las funciones $$ \psi_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \varphi(x-k)\,. $$ La secuencia converge uniformemente a la función suave $\sum_{k=1}^\infty k^{-2} \varphi(x-k)$, pero esto no es de forma compacta compatible.

Este curioso fenómeno es importante: tenga en cuenta que ahora la secuencia $$ \xi_n(x) = \frac{1}{n^2} \varphi(x-n) = \psi_n(x) - \psi_{n-1}(x)\,. $$ Vemos que $\xi_n \to 0$ $C^\infty$-de manera uniforme, pero si nuestra topología permite que esto suceda, se puede construir una secuencia de suave funciones que converge a la no-forma compacta compatible función: la secuencia de $(\psi_n)$. Lo especial acerca de la $(\xi_n)$ es que converge a una función de prueba de $C^\infty$-de manera uniforme, pero los soportes de $\xi_n$ "escapar al infinito". Así que no queremos que nuestros topología de tener esta propiedad. Cómo?

Podríamos formular este problema como: si $(\xi_n)$ es una secuencia de Cauchy, no queremos que los soportes de $\xi_n$ a escapar al infinito. Así que queremos que la unión de todos los apoyos de $\xi_n$ pertenecen a algún conjunto compacto $K$. Para lograr esto simplemente nos "empujan" las secuencias de Cauchy de $C^\infty_c(K)$ $C^\infty_c(\Bbb{R^d})$por cada $K$. Por supuesto, necesitamos que nuestra topología de tener la propiedad de que si $(\xi_n)$ es de Cauchy en $C^\infty_c(K)$, también es de Cauchy en $C^\infty_c(\Bbb{R^d})$. Esto requiere que la inclusión de mapas de $\iota_K: C^\infty_c(K) \to C^\infty_c(\Bbb{R^d})$ tiene que ser continuo.

Pero la topología coinduced (topología final/strong topología) por algunos de la familia $(\iota_{K_n})_{n \in \Bbb{N}}$ de inclusiones, de tal manera que $\Bbb{R^d} = \bigcup_n K_n$, no acababa de hacer el trabajo sin embargo. Pero si tomamos los mejores localmente convexo de la topología en la que las inclusiones son continuas, tenemos una topología con el querido propiedades (ver Rudin del análisis funcional de texto para más detalles).