Es posible averiguar si un número $z$ es la adición de dos triangulares número sin recursividad o encontrar los valores de a$x$$y$?
$$\frac{x(x+1)}{2} + \frac{y(y+1)}{2} = z$$
Un ejemplo de esto sería el siguiente:
$$\frac{345(345+1)}{2} + \frac{234(234+1)}{2} = 87180$$
Es posible determinar si $87180$ se originó a partir de la suma de dos números triangulares sin recursivamente yendo y conectar todas las posibilidades de $x$$y$?
La ecuación: $$ x(x+1)+y(y+1)=2z \tag{1}$$ es equivalente a: $$ (2x+1)^2 + (2y+1)^2 = 8z+2 \tag{2} $$ por lo tanto $z$ es la suma de dos números triangulares iff $8z+2$ es la suma de dos cuadrados, es decir, iff para cada prime $p$ de la forma $4k+3$ que divide $8z+2$, $\nu_p(8z+2)$ es incluso.
En el ejemplo dado, $z=87180$, tenemos:
$$ 8z+2 = 2\cdot 17 \cdot 73\cdot 281 \tag{3}$$ y todos los impares primer ocurren en el lado derecho de la $(3)$ es de la forma $4k+1$, por lo tanto $8z+2$ puede ser escrito como la suma de dos impares plazas: $$ 8z+2 = 101^2 + 829^2 \tag{4}$$ y $z$ es la suma de dos números triangulares: $$ 87180 = \binom{51}{2}+\binom{415}{2}.\tag{5} $$
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