Ejemplo de un conjunto no abierto ni cerrado

Question

Necesito un ejemplo muy simple de un conjunto de números reales (si los hay) que no esté ni cerrado ni abierto. Y también, una explicación muy corta y simple de por qué no está ni cerrado ni abierto.
¡Gracias!

Answer 1

$[0,1)$

No está abierto porque no hay $\epsilon > 0$ tal que $(0-\epsilon,0+\epsilon) \subseteq [0,1)$ .

No está cerrado porque $1$ es un punto límite del conjunto que no está contenido en él.

Answer 2

Para un ejemplo un poco más exótico, los racionales, $\mathbb{Q}$ .

No son abiertos porque cualquier intervalo sobre un punto racional $r$ , $(r-\epsilon,r+\epsilon)$ contiene un punto irracional.

No son cerradas porque cada punto irracional es el límite de una secuencia de puntos racionales. Si $s$ es irracional, considere la secuencia $\left\{ \dfrac{\lfloor10^n s\rfloor}{10^n} \right\}.$

Answer 3

Dejemos que $A = \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\}$ .

$A$ no está cerrado ya que $0$ es un punto límite de $A$ pero $0 \notin A$ .

$A$ no es abierto ya que toda bola alrededor de cualquier punto contiene un punto en $\mathbb{R} - A$ .

Answer 4

Toma $\mathbb{R}$ con la topología de complemento finito, es decir, los conjuntos abiertos son exactamente aquellos con complemento finito. Entonces $[0,1]$ no está abierto ni cerrado. No está abierto porque $\mathbb{R}\setminus [0,1]=(-\infty,0) \cup (1,\infty)$ no es finito, y no es cerrado ya que su complemento, $(-\infty,0) \cup (1,\infty)$ no está abierto, como se acaba de demostrar.

Answer 5

El intervalo $\left ( 0,1 \right )$ como un subconjunto de $\mathbb{R}^{2}$ Es decir $\left \{ \left ( x,0 \right ) \in \mathbb{R}^{2}: x \in \left ( 0,1 \right )\right \}$ no es ni abierto ni cerrado porque ninguno de sus puntos es interior y $\left ( 1,0 \right )$ es un punto límite que no está en el conjunto.