Lo que determina si una función tiene al menos un periodo positivo?

Question

Esta pregunta se deriva de este , donde si $f$ es continua y $f(x) = f(x+1) = f(x+\pi)$, $f$ debe ser constante. El de arriba se muestra el uso de la densidad de $\mathbb{Z}+\pi\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ y la continuidad de la $f$. Sin embargo, lo que salta a mí a partir de la pregunta es la (aparente) incongruencia de un período que es a la vez racional e irracional.

Específicamente, si $f$ no es constante y tiene al menos un periodo positivo, $T$, entonces no puede ser que $f(x)=f(x+1)=f(x+\pi)$, ya que implicaría que $\pi$ es racional. Pero, como se señaló, para mí, este no puede ser usado para demostrar la anterior, porque no todos los periódicos de la función tiene al menos un periodo positivo.

Así que mi pregunta es, ¿cómo se determina si una función tiene al menos un periodo positivo? Hay ciertas clases de funciones que, si periódica, debe tener por lo menos un periodo positivo? Por ejemplo, continua funciones periódicas?

También, ¿qué otros ejemplos hay de no-periódica constante de las funciones que no tienen por lo menos un periodo positivo? El ejemplo que me ha dado (y el único que se da en la página de la Wikipedia) es el indicador de la función de los números racionales.

Answer 1

Para una función determinada,$f$, considerar el conjunto $P = \{ p \in \mathbb{R} \mid \forall x \in \mathbb{R} : f(x+p) = f(x) \}$. Claramente $0 \in P$, y si $p, q \in P$$p - q \in P$. Eso significa que $P$ es un subgrupo del grupo aditivo de los números reales. Varios casos pueden surgir

1. $P = \{0\}$. En ese caso $f$ no es periódica.
2. $P = p\mathbb{Z}$ algunos $p > 0$. A continuación, $p$ es el mínimo período de $f$.
3. $P = \mathbb{R}$. Este es el caso de la constante de funciones.
4. $P$ es un denso adecuada subgrupo de $\mathbb{R}$, como en el ejemplo de la función de indicador de los racionales, donde $P = \mathbb{Q}$.

No hay otros subgrupos existen. Para construir cualquier función periódica, usted puede tomar cualquier trivial subgrupo $P$ y definir una función arbitraria en el cociente $\mathbb{R}/P$. Esto corrige la función entera, ya que debe ser constante en todos los coset de $P$. En el caso 2 el cociente puede ser representado como el intervalo de $[0, p)$; para el caso de 4 esto tiende a ser más complicado, pero un poco más interesante ejemplo sería $$ f(x) = \begin{cases} p & \text{for}\, x = q + \sqrt{p},\; q \in \mathbb{Q}, p \,\text{prime}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{casos} $$

Answer 2

Las otras respuestas son muy buenas. Aquí está una 1915 teorema de Burstin que también parece relevante:

Si un Lebesgue medibles función de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ha arbitrariamente pequeños períodos, a continuación, $f$ es constante en casi todas partes.

Una buena prueba es dada en esta página MENSUAL nota de J. M. Henle. Un comentario en la parte inferior de reclamaciones que Burstin de la prueba original era defectuosa.

Answer 3

Parece que no constante continua de la función periódica debe tener por lo menos un periodo positivo. En primer lugar, si hay períodos arbitarily cercano a cero, a continuación, elija su punto favorito $x$ y el valor de $f(z)$. Ya que los plazos son cada vez más pequeños y más pequeños, debe ser una secuencia de $z_n \rightarrow x$ $f(z_i) = f(z)$ todos los $i$. Por lo tanto $f(z) = f(x)$ por la continuidad, la violación de la que $f$ es no constante. Así que hay algo de positivo límite inferior $L$ para el conjunto de periodos de tiempo.

Si hay una secuencia de períodos de $p_i \neq L$ convergentes a$L$,$f(x + L) = f(x) = f(x + L + p_i)$, por lo que tenemos una secuencia de períodos de convergencia a cero. Por lo $L$ debe ser de un período.