Las representaciones de un grupo cíclico de orden p sobre un campo de característica p?

Question

Deje $p$ ser una de las primeras. Mi objetivo final es demostrar que la única representación irreducible de una $p$-grupo sobre un campo de característica $p$ es el trivial de la representación.

Por el momento, estoy tratando de probar un simple reclamo: supongamos $G$ es un (cíclico) grupo de orden $p$, vamos a $K$ ser un campo de característica $p$, y deje $V$ ser cualquier representación de $G$$K$; si la dimensión de $V$ (como un espacio vectorial sobre $K$) es mayor que $1$ , $V$ debe ser una representación reducible.

¿Alguien tiene alguna pista o sugerencias sobre cómo proceder? Por ejemplo, cuando debo usar el hecho de que $K$ ha característica igual a $|G|$ (de hecho, ni siquiera estoy seguro de si es o no el de arriba tiene arbitrarias $K$) o el hecho de que $G$ es cíclico?

Answer 1

En su caso particular, puede demostrar que el grupo de álgebra de un grupo cíclico de orden $p$ sobre un campo $k$ de los característicos $p$ es isomorfo a $k[t]/(t^p)$. De ello se desprende que la comprensión de $G$-módulos es el mismo como en la comprensión de nilpotent endomorphisms de espacios vectoriales de nilpotency índice en la mayoría de las $p$: esto se puede hacer utilizando canónica de Jordan formas. De hecho, el Jordan en la forma de la matriz de $t$ en un simple módulo tiene un solo bloque, ya que el módulo es indescomposable, tiene sólo el cero como valor propio, porque es nilpotent, y usted debe tener pocos problemas mostrando que el bloque debe ser de tamaño $1$.

Answer 2

Alternativamente, muestran que el grupo de álgebra es local. A continuación, se deduce que no es exactamente un módulo sencillo.

Answer 3

Aquí están algunos consejos:

1. Cuántos de los elementos no $V$? (Estoy suponiendo, sin pérdida de generalidad que es finito-dimensional.)
2. ¿Qué sabe usted acerca de los tamaños de las órbitas de los vectores en $V$ bajo la acción de $G$?

Si usted puede contestar a estas preguntas, que de inmediato va a ser capaz de demostrar que la única representación irreducible es la trivial.