Es el conjunto $\{\frac{1}{a\,-\,\pi}\mid a\in\mathbb{Q}\}$ linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$?

Question

El siguiente problema es de Golán del álgebra lineal libro. He publicado una propuesta de solución en las respuestas.

Problema: Considere el $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Es el subconjunto $$\left\{\frac{1}{a-\pi}\;\middle\vert\; a\in\mathbb{Q}\right\}$$ linealmente independientes?

Answer 1

Es.

Por el bien de la contradicción, supongamos que existe una combinación lineal de los elementos del conjunto en $\mathbb{Q}$ que es igual a 0. Tenemos una suma de la forma

$$\sum_1^n \frac{q_j}{a_j-\pi}=0$$

donde$q_j, a_j \in \mathbb{Q}$, $a_j$ son distintos, y $q_j\neq 0$ todos los $j$. Considere la siguiente expresión:

$$\sum_1^n \frac{q_j}{a_j-x}=0.$$

Nuestro problema es equivalente a mostrar que la $\pi$ no es una raíz de esto.

Compensación de los rendimientos de los denominadores

$$\sum_{j=1}^n {q_j}\prod_{i\neq j}(a_i-x)=0.$$

Esto es claramente un polinomio con coeficientes racionales. La única manera de $\pi$ puede ser una raíz de esto es que si el polinomio es el polinomio cero, como $\pi$ es un trascendental número. Pero si esto esta el cero del polinomio, entonces establecimiento $x=a_1$ rendimientos

$$q_1\prod_{i\neq 1} (a_i-a_1)=0$$

que es una contradicción puesto que todos los términos son cero.

Answer 2

Bien, si usted va a asumir sabe que $\pi$ es trascendental $\mathbb Q$ ... usted puede también utilizar cualquier otro trascendente en su lugar. Por ejemplo, demostrar que $$ \frac{1}{a-z},\qquad \in \mathbb Q $$ en el espacio vectorial de meromorphic funciones es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$. De hecho, más es cierto: son linealmente independientes sobre $\mathbb C$. Podemos ver que ninguna de estas es una combinación lineal de algunos otros mediante la comparación de sus polos.