Parcela de una... ¿Plaza?

Question

Bueno, hay ecuaciones que puede trazar un cuadrado como : $|x-y|+|x+y|=$

Pero ¿qué hay de esta ecuación: ? (Al final ... tengan paciencia conmigo!)

---

[Aquí, yo he tomado a $a = 1$]

Parcela de $$x^2 + y^2 = a^2$$

Parcela de $$x^4 + y^4 = a^4$$

Parcela de $$x^6 + y^6 = a^6$$

Parcela de $$x^{100} + y^{100} = a^{100}$$

Ya podemos ver que a medida que el grado de la ecuación es el aumento de la nitidez de la posible cuadrado redondeado también está aumentando...

Por lo tanto podemos decir que:

Parcela de :

$$\lim\limits_{p \rightarrow \infty} \espacio (x^p + y^p = a^p)$$

es la trama de una plaza???

Answer 1

Revisión $a > 0$. En cada diagrama el exponente es aún; si la trama $$ x^{2k+1} + y^{2k+1} = a^{2k+1} $$ para algunos entero no negativo de $k$, usted obtendrá un sustancialmente diferente de la imagen (excepto en el primer cuadrante).

Por lo tanto, vamos a interpretar los diagramas como casos especiales de $$ |x|^{p} + |y|^{p} = a^{p},\quad \text{$p > 0$ real,} $$ es decir, $$ \left(|x|^{p} + |y|^{p}\right)^{1/p} = un. \etiqueta{1} $$ Ahora tiene sentido para tomar el límite de $p \to \infty$ a la izquierda.

Ejercicio: Si $x$ y $y$ son números reales, entonces $$ \lim_{p \to \infty} \left(|x|^{p} + |y|^{p}\right)^{1/p} = \max\left(|x|, |y|\right). $$

Sugerencia: Divida a los casos $|x| < |y|$ y $|y| \leq |x|$, y utilice el hecho de que, si $|u| < 1$, entonces $|u|^{p} \to 0$ como $p \to \infty$.

En este sentido, (1) "converge" $\max\left(|x|, |y|\right) = $ como $p \to \infty$, que es, de hecho, la ecuación del eje orientado cuadrado de lado de longitud $2a$ centrada en el origen.

Answer 2

Probablemente la mejor manera de pensar acerca de lo que está pasando es pensar en el $p$ normas $\| x \|_p = (|x_1|^p+|x_2|^p)^{1/p}$ para $p \in [1,\infty)$, donde se definen $\| x \|_\infty = \max \{ |x_1|,|x_2| \}$. La motivación para esta última notación es que $\lim_{p \to \infty} \| x \|_p = \| x \|_\infty$. Aquí es cómo lo veo:

Primero supongamos $|x_1|=|x_2|=x$. Entonces $\| x \|_p = 2^{1/p} x \a x$ como $p \to \infty$. De lo contrario, supongamos $|x_1|>|x_2|$. Entonces

$$(|x_1|^p + |x_2|^p)^{1/p} = |x_1|(1+|x_2|^p/|x_1|^p)^{1/p}.$$

Ahora como $p \to \infty$, el término entre paréntesis converge a $1$ (casi sólo por sustitución). Por lo que el límite es de $|x_1|=\| x \|_\infty$.

Ahora los "círculos", es decir, los conjuntos de nivel, en el infinito de la norma puede fácilmente ser visto para ser cuadrados. Por lo que el resultado anterior implica que los conjuntos de nivel de la $p$ normas asintóticamente enfoque de plazas. Exactamente lo mismo sucede en la mayor (finito) dimensiones: las "esferas" en el $p$ norma enfoque de las superficies de cubos como $p \to \infty$.

Answer 3

Por supuesto, la ecuación $$\max\bigl\{|x|, \>|y|\bigr\}=$$ describe la circunferencia $\partial Q$ de una plaza sencilla y precisa. Pero tienes la sensación de que $\parcial P$ es también el "límite" de los conjuntos $$S_p:=\bigl\{(x,y)\>\bigm|\>|x|^p+|y|^p=a^p\bigr\}$$ cuando $p\to\infty$. Hay varios conceptos por los límites de las secuencias de conjuntos. Para el problema en cuestión la noción de la distancia de Hausdorff es el más apropiado: Para cualquiera de los dos conjuntos no vacíos $A$, $B\in{\mathbb R}^n$ se define $$d(a,B):=\inf\bigl\{\epsilon>0\>\bigm|\>\subconjunto B_\epsilon\ \wedge\ B\subconjunto A_\epsilon\bigr\}\ ,$$ cual $A_\epsilon:=A+U_\epsilon(0)$ denota el conjunto de todos los puntos $y\in{\mathbb R}^n$ distancia $<\epsilon$ desde algún punto $x\in A$.

En términos de la métrica de Hausdorff $d$ no es difícil mostrar que $$\lim_{p\to\infty}d(S_p,\partial Q)=0\ ;$$ donde $\lim_{p\to\infty} S_p=\partial Q$.

Answer 4

Supongamos que $0 \le x < a$ tiene $$ y (x) = \pm un \sqrt[p]{1-\left (\frac {x} {un} \right) ^ p} $$

Y \lim\limits_{p \to \infty $$} y (x) = \pm a$ $

Esto que probar para $x \in [0, a)$ el gráfico de la curva (pointwise) converge a dos líneas $y = \pm un$.