La comprensión de por qué la desigualdad de Minkowski no es cierto para $0 < p < 1$?

Question

El triángulo de la desigualdad dada por

$\left(\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^p\right)^{1/p}$

es conocida como "la desigualdad de Minkowski", que vale para $1\leq p <\infty$ mientras que para $0 < p < 1$ que no se sostenga.

Búsqueda a través de la red he encontrado que esta desigualdad se cumple para $1\leq p <\infty$ está relacionado con la observación de que, para $p$ la función de $x \to x^p$ $x \geq 0$ es convexa.

El fracaso de la desigualdad de triángulo está relacionado con la observación de que por $0 < p < 1$,the function $x \x^p$ for $x \geq 0$ no es convexa.

Yo no soy capaz de entender estos puntos. Podría alguien explicar mí?

Gracias

Answer 1

Una función de $h(x)$ es convexo si satisface

$$h\left ( \alpha x_1 + (1-\alpha)de x_2 \right) \le \alpha h(x_1) + (1-\alpha)h(x_2), \quad\alpha\in [0,1]\etiqueta{1}$$

Geométricamente esto significa que para $x_1\le x\le x_2$ la gráfica de $h(x)$ debe estar debajo de la línea que conecta los puntos de $h(x_1)$$h(x_2)$. La inspección de la gráfica de $h(x)=x^p$ es fácil ver que la función de $x^p$ es convexa para $p\ge 1$, pero no por $0<p<1$.

En la prueba de la desigualdad de Minkowski que hacer uso de exactamente este hecho. La prueba se inicia en la demostración de que la suma de algunas de las funciones $f$ $g$ ha finito $p$-norma si tanto $f$ $g$ do. Tenemos

$$\left | \frac{f}{2}+\frac{g}{2}\right |^p\le \left | \frac{|f|}{2}+\frac{|g|}{2}\right |^p$$

Esta desigualdad no tiene nada que ver con la convexidad pero sólo se sigue de tomar las magnitudes de las $f$$g$. En el siguiente paso, sin embargo, podemos hacer uso de convexidad:

$$\left | \frac{|f|}{2}+\frac{|g|}{2}\right |^p\le \frac{|f|^p}{2}+\frac{|g|^p}{2}$$

Aquí hemos hecho uso de (1) con $\alpha=1/2$ y $h(x)=x^p$, $p\ge 1$. El resto de la prueba se basa en este resultado, que es la razón por la convexidad (y, por tanto,$p\ge 1$) es necesario para Minkowsi la desigualdad de mantener.

Answer 2

Tengo una buena(bueno, creo que es una buena interpretación. La de Minkowski de la desigualdad simplemente sugiere que las $L^p$ es una normativa espacio. Pero se puede mostrar que el $L^p$ ni siquiera localmente convexo espacio si $0<p<1$.