Simple de Ecuaciones Trigonométricas - ¿por Qué está Mal Cancelar Trig?

Question

En el siguiente problema, lo primero que hizo uso de una cancelación de $sin^2\theta$, el trabajo que se muestra a continuación, que dio la respuesta equivocada. Después de haber visto la pregunta de nuevo, vi que se podía resolver por factorización, trabajando de nuevo a continuación.

Mi pregunta, entonces, es ¿por qué está mal para cancelar la $\sin^2\theta$ plazo - el álgebra parece correcto para mí?

El Problema

Resolver para $\theta$ en el intervalo de $0 \le \theta \le 360$

$$4\sin\theta = \tan\theta$$

Mi Solución

$$4\sin\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$4\sin\theta \cos\theta = \sin\theta$$

El cuadrado, y la sustitución, el uso de la identidad de $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$

$$16\sin^2\theta(1-\sin^2\theta) = \sin^2\theta$$ $$1-\sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{16\sin^2\theta}$$ $$1-\sin^2\theta = \frac{1}{16}$$

Resto de trabajo para la respuesta final se omite.

Solución Correcta

$$4\sin\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$4\sin\theta \cos\theta - \sin\theta = 0$$ $$\sin\theta(4\cos\theta - 1) = 0$$

Resto de trabajo para la respuesta final se omite.

En suma, ¿por qué está mal cancelar como lo hice la primera vez - ¿por qué tiene estos problemas se pueden resolver por factorización como en la solución correcta?

Answer 1

Las dos cuestiones son:

• Cuando la cancelación de un factor, tenga en cuenta que esto sólo es posible cuando el factor no es cero; pero el factor que puede ser cero en la solución del problema. En este caso, $\sin\theta = 0$ es una solución. Por la cancelación de usted descuidado para comprobar que esto era una solución.

• Cuando el cuadrado, tenga en cuenta que esto puede introducir falsas soluciones, desde la $a^2=b^2$ siempre $a=b$ o $a=-b$. En este caso, su respuesta es que $\cos\theta = \pm\frac 1 4$. Pero $\cos\theta = {-} \frac 1 4$ es no una verdadera solución.

Answer 2

El problema quiere encontrar todos los valores de $\theta$ que satisfacen la ecuación. Cancelación hace que sea más fácil encontrar algunos de los valores, sino por la cancelación también se pierde soluciones. El Factoring se asegura de que usted conserve la información necesaria para encontrar todas las soluciones.

Answer 3

Observe que si $\theta = \pi n$, $\{n \in \mathbb{Z}\}$ a continuación, tendrás $1 = 0$.

Recordar que cuando hablamos de "cancelar" lo que realmente estamos haciendo es decir este término a lo largo de este término = 1. $\frac{\sin\theta}{\sin\theta} \neq 1 $ $\theta \in \mathbb{R}$

Answer 4

He aquí una manera más simple de obtener su respuesta. Recordar lo $sin(\theta)$ $tan(\theta)$ representan en realidad en un triángulo rectángulo. Para un triángulo rectángulo dado, vamos a $a$ ser la longitud del lado adyacente, $b$ ser la longitud del lado opuesto, y $c$ ser la longitud de la hipotenusa. Esto significa:

$sin(\theta) = \frac{a}{c}$ $tan(\theta) = \frac{a}{b}$

Sustituyendo, la ecuación se convierte en:

$4\frac{a}{c} = \frac{a}{b}$

La cancelación de la $a$ y reordenando se obtiene:

$\frac{b}{c} = \frac{1}{4}$

Utilizando la definición de coseno da:

$cos(\theta) = \frac{1}{4}$

Y

$acos(\frac{1}{4}) = \theta$