Cómo resolver esta ecuación exponencial?

Question

Estoy dado de esta ecuación y que tengo que resolver para x.

$$ e^{2x} -(e^5 + e^2)e^x + e^7 = 0 $$

Los resultados deben ser$x =2$$x = 5$.

Al principio pensé que sería una tarea fácil, sustituyendo $e^x$$y$, pero no puede deshacerse de los coeficientes. Lo siento si esta pregunta es demasiado simple para este sitio, pero yo estaría muy agradecido si me pudieran explicar. Gracias por su amabilidad.

Answer 1

Usted puede hacer $e^{2x}-(e^2+e^5)e^x+e^7=(e^x-e^2)(e^x-e^5)=0$. Así tenemos el resultado.

Answer 2

Usted está en el camino correcto! Haciendo la sustitución usted ha mencionado, nos conducirá a la ecuación cuadrática: $$y^2 - (e^5+e^2)\cdot y + e^7 = 0.\tag {1}$$

Después de encontrar a $y_1, y_2$, tenemos que ir de la espalda y, $y_i = e^x, \, (i = 1,2)$ y resolver para $x$.

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Recordar que si tenemos la ecuación cuadrática $$ay^2 + by + c = 0,$$ entonces el discriminante es dado por la fórmula $D = b^2 - 4ac$ y espero que recuerda la fórmula que da la solución(s). ¿Puedes adivinar lo que los coeficientes de $a,b,c$ en la ecuación de $(1)$ son?

Answer 3

Cualquier cuadrática se puede escribir como $$x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0$$

Answer 4

Cuando se da la expresión cuadrática es factorizados, $(e^x-e^2) \cdot (e^x-e^5)=0$

Acaba de igualar los exponentes, $ x= 2, 5. $

Answer 5

Tenemos $$e^{2x}-(e^5+e^2)e^x+e^7=0$$ $$(e^{x})^2-(e^5+e^2)e^x+e^7=0$$ Now, solving above quadratic equation for $e^{x}$ $$e^x=\frac{-(-(e^5+e^2))\pm\sqrt{(e^5+e^2)^2-4(1)(e^7)}}{2\cdot 1}$$ $$=\frac{(e^5+e^2)\pm\sqrt{(e^5+e^2)^2-4(1)(e^7)}}{2\cdot 1}$$ $$=\frac{e^2(e^3+1)\pm e^2\sqrt{e^6+1-2e^3}}{2}=\frac{e^2(e^3+1)\pm e^2\sqrt{(e^3-1)^2}}{2}$$ $$=\frac{e^2(e^3+1)\pm e^2(e^3-1)}{2}$$ $\color{red}{\text{Tomando signo positivo}}$ $$e^x=\frac{e^2(e^3+1)+ e^2(e^3-1)}{2}=\frac{2e^5}{2}=e^5\iff x=5$$ $\color{red}{\text{Tomando signo negativo}}$ $$e^x=\frac{e^2(e^3+1)- e^2(e^3-1)}{2}=\frac{2e^2}{2}=e^2\iff x=2$$ Hence, we have two values of $x$ given as $$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{x=2\ \text {&}\ x=5}}$$