La integración de la validez de $\int\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}\,dx$

Question

Me pregunto si la integración es válido.

\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} dx\\ {\rm{Let }}{u^2} = {a^2} + {x^2}\\ 2udu = 2xdx\\ \frac{{du}}{x} = \frac{{dx}}{u}\\ {\rm{Let }}\frac{{du}}{x} = \frac{{dx}}{u} = A\\ du = Ax\\ dx = Au\\ \frac{{du + dx}}{{x + u}} = \frac{{Ax + Au}}{{x + u}} = A = \frac{{dx}}{u}\\ \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} dx\\ = \int {\frac{1}{{\sqrt {{u^2}} }}} dx\\ = \int {\frac{1}{u}} dx\\ = \int {\frac{{du + dx}}{{x + u}}} \\ = \int {\frac{{d\left( {u + x} \right)}}{{x + u}}} \\ = \ln \left| {x + u} \right| + C\\ = \ln \left| {x + \sqrt {{a^2} + {x^2}} } \right| + C \end{array}

Answer 1

He jugado un poco, y yo era capaz de calcular la integral de una manera casi idéntica a como lo hicieron. Creo que lo hizo un poco más riguroso, aunque, como yo no manipular el du y dx como si ellos fueron los números en una fracción. En su lugar, yo los guardaba "juntos", y no "romper" la derivada.

Obviamente du/dx no es realmente una fracción, pero la notación de derivadas e integrales trabaja a menudo en una manera que usted puede "romper" y manipular du y dx, de tal manera que sus manipulaciones son consistentes con un enfoque más riguroso. Esperemos que esto proporciona cierta intuición de por qué lo que hizo trabajado:

\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} dx\\ {u^2} = {a^2} + {x^2}\\ 2u\frac{{du}}{dx} = 2x\\ \frac{{1}}{u} = \frac{{1}}{x}\frac{{du}}{dx}\\ A = \frac{{1}}{u} = \frac{{1}}{x}\frac{{du}}{dx}\\ Ax = \frac{{du}}{dx}\\ Au = 1\\ \int A dx = \int \frac{1}{u} dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} dx\\ \int A dx = \int \frac{{Ax + Au}}{x + u} dx=\int \frac{{\frac{{du}}{dx} + 1}}{x + u} dx \\ b = x + u\\ \frac{{db}}{dx}=1 +\frac{{du}}{dx}\\ \int \frac{{\frac{{du}}{dx} + 1}}{x + u} dx = \int \frac{\frac{db}{dx}}{b} dx \\ = ln(|b|) + C\\ = ln(|x+u|) + C\\ = ln(|x+ \sqrt {{a^2} + {x^2}}) + C\\ \end{array}

Así que estas manipulaciones donde "romper" la derivada y manipular el du y dx a menudo hacen el trabajo. Sin embargo, si usted desea tener más riguroso e intuitiva, usted puede en lugar de "mantener juntos", y el uso de técnicas como hice yo, o u-sustitución (por ejemplo, cómo en este artículo se justifica la separación de variables).

El punto más importante es que cuando usted tiene la extraña declaración:

\begin{array}{l} \int {\frac{{du + dx}}{{x + u}}} \\ \end{array}

Esto es como si usted ha multiplicado el integrando por dx y 1/dx:

\begin{array}{l} \int {\frac{{du + dx}}{{x + u}}}\frac{1}{dx}dx \\ \end{array}

Y entonces, la expansión de la 1/dx en la fracción, nos encontramos con:

\begin{array}{l} \int {\frac{\frac{du}{dx} + 1}{{x + u}}}dx \\ \end{array}

Y por supuesto, esto puede ser evaluado mediante la sustitución de b = u + x