¿Por qué no hay una forma más sencilla de una matriz que la forma normal de Jordan o de Frobenius?

Question

Las formas normales de Jordan y Frobenius de un mapa lineal $A:\Bbb R^n \rightarrow \Bbb R^n$ parecen ser representaciones máximamente simples de $A$ en el sentido de que uno de ellos contenga el menor número posible de entradas no nulas. Pero, ¿cómo se demuestra eso?

Más concretamente, demuestre que para cada $A:\Bbb R^n \rightarrow \Bbb R^n$ y cada Base $B$ de $\Bbb R^n$ la matriz de transformación $_B A _B$ tiene al menos tantas entradas no nulas como la forma normal de Jordan o la forma normal de Frobenius de $A$ o, de lo contrario, dar un contraejemplo.

Answer 1

Esto podría ser un contraejemplo para la forma de Jordan. La matriz compañera del polinomio $$(x^2-1)^3=x^6-3x^4+3x^2-1$$ es $$A=\pmatrix{0&0&0&0&0&1\cr1&0&0&0&0&0\cr0&1&0&0&0&-3\cr0&0&1&0&0&0\cr0&0&0&1&0&3\cr0&0&0&0&1&0\cr}$$ con $8$ entradas no nulas, y creo que la forma de Jordan para esta matriz es $$\pmatrix{1&1&0&0&0&0\cr0&1&1&0&0&0\cr0&0&1&0&0&0\cr0&0&0&-1&1&0\cr0&0&0&0&-1&1\cr0&0&0&0&0&-1\cr}$$ con $10$ entradas no nulas. No estoy tan familiarizado con la forma normal de Frobenius. (EDIT:) Creo que es otro nombre para "forma canónica racional", y creo que la forma canónica racional para $$B=\pmatrix{2&0\cr0&3\cr}$$ es $$\pmatrix{0&-6\cr1&5\cr}$$ Así que me parece que la matriz $$A\oplus B=\pmatrix{A&0\cr0&B\cr}$$ tiene $10$ entradas no nulas, su forma normal de Frobenius tiene $11$ y su forma de Jordan tiene $12$ .

Answer 2

La forma normal de Frobenius de $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$$ es $$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -2 & 3\end{pmatrix}.$$

Así que la forma normal de Frobenius no siempre da el mínimo número posible de entradas no nulas.

Para la forma normal de Jordan, véase la respuesta de Gerry Myerson.