$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$Deje $V$ ser cualquier no-vacío conjunto abierto en $X$.
Fix $\epsilon>0$. Para $n,k\in\Bbb N$ deje $G_n(k)=\{x\in V:|f_n(x)-f_{n+k}(x)|>\epsilon\}$, y vamos a $G_n=\bigcup_{k\in\Bbb N}G_n(k)$; $G_n$ está abierto en $X$. Deje $x\in V$, $n(x)\in\Bbb N$ tal que $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}2$ siempre $n\ge n(x)$, lo $|f_{n(x)}(x)-f_{n(x)+k}(x)|<\epsilon$ todos los $k\in\Bbb N$, y por lo tanto $x\notin G_{n(x)}$. Por lo tanto, $\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n=\varnothing$. Pero $V$ es un espacio de Baire, así que debe haber algo de $n\in\Bbb N$ tal que $G_n$ no es denso en $V$; deje $U=V\setminus\cl_XG_n$.
Fix $x\in U$. Desde $f_n$ es continuo, no es un $\delta>0$ tal que $|f_n(y)-f_n(x)|<\epsilon$ todos los $y\in B(x,\delta)$, el open de bola en $X$ radio $\delta$ centrada en $x$, y que además puede suponer que $\cl_XB(x,\delta)\subseteq U$. Por lo tanto, para cada una de las $y\in B(x,\delta)$ hemos
$$|f(y)-f(x)|\le|f(y)-f_n(y)|+|f_n(y)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|<3\epsilon\;,$$
de modo que la oscilación de la $f$ $\operatorname{cl}_XB(x,\delta)$ es en la mayoría de las $3\epsilon$.
Por lo tanto, para cualquier no-vacío abierto $V\subseteq X$ y cualquier $\epsilon>0$ hay un no-vacío abierto $W$ tal que $\cl_XW\subseteq V$ y la oscilación de la $f$ $W$ es en la mayoría de las $\epsilon$. Por otra parte, podemos hacer que el diámetro de $W$ tan pequeño como nos gusta. De ello se deduce que para cualquier no-vacío abierto $V_0\subseteq X$ hay una secuencia $\langle V_n:n\in\Bbb N\rangle$ de los no vacía de subconjuntos abiertos de $X$ tal que para cada una de las $n\in\Bbb N$ tenemos $\cl_XV_{n+1}\subseteq V_n$, el diámetro de $V_{n+1}$ es de menos de $2^{-n}$, y la oscilación de la $f$ $V_{n+1}$ es en la mayoría de los $2^{-n}$. $X$ es un espacio de Baire, por lo que $$\{x\}=\bigcap_{n\in\Bbb N}\cl_XV_n=\bigcap_{n\in\Bbb N}V_n\subseteq V_0$$ for some $x\in X$, and clearly $f$ is continuous at $x$. Thus, the set of points of continuity of $f$ is dense in $X$.
