Olvidarse del pecado y de la cos funciones, muestran que $(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...)^2+ (1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...)^2=1$.

Question

Olvídate de la $\sin$ $\cos$ funciones, están ahí, posiblemente, de alguna manera brillante para mostrar que $$\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)^2+ \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\right)^2=1$$

?

He pensado durante mucho tiempo, sin hacer mucho progreso. Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Ambas series son incluso.

El coeficiente de $x^{2n}$ en el primer poder de la serie es $$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(2k-1)!(2n-2k+1)!} $$ El coeficiente de $x^{2n}$ en la segunda potencia de la serie es $$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k)!(2n-2k)!} $$

Así que la diferencia entre los dos coeficientes es

$$ \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \frac{1}{k!(2n-k)!}=\frac{1}{(2n)!}(1-1)^{2n} \, . $$

Answer 2

Cuando le pregunto a Mathematica para la expansión de la serie por el Pecado[x]^2, me sale:

x^2 - x^4/3 + (2 x^6)/45 - x^8/315 + (2 x^10)/14175-...

Y Cos[x]^2 es:

1 - x^2 + x^4/3 - (2 x^6)/45 + x^8/315 - (2 x^10)/14175+...

Para agregar esas dos expresiones juntas, y te deja con 1.

Soy demasiado perezoso para hacerlo, pero claramente, si usted manualmente expandido sus términos cuadrados, usted debe estar a la izquierda con la forma cerrada de las expresiones de las expansiones que acabo de exponer, con la consecuencia inmediata que se agregan juntos que es igual a 1.