Si $AB=I_n$$BA=I_m$$n=m$.

Question

Deje $A, B$ dos de la matriz de $n\times m$$m\times n$, respectivamente, de modo que $AB=I_n$$BA=I_m$. Mostrar que $n=m$.

Answer 1

$\newcommand{\tr}{\text{tr}}$ Para un cuadrado de $k\times k$ matriz $A = (a_{ij})$ tenemos la traza definida como $$ \tr(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{kk}. $$ Es decir, la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal. Es un hecho que la traza de $AB$ es igual a la traza de $BA$: $$ \tr(AB) = \tr(BA) $$ para cualquier matrices donde el producto tiene sentido. Tenga en cuenta que $AB$ $BA$ necesariamente tienen que ser de las matrices cuadradas. Este hecho no es demasiado duro para demostrar el uso de la definición de la matriz producto y la definición de la traza.

Ahora, utilizando este hecho, se han $$ n = \tr(I_n) = \tr(AB) = \tr(AB) = \tr(I_m) = m. $$

Answer 2

No hay nada malo con Thomas argumento. Es la que yo habría usado yo. Pero, pensé que me gustaría añadir otro "obvio" argumento.

Desde $AB = I_n$ sabemos que $A$ tiene rango completo igual a $n$. Esto es debido a que, para cualquier $b \in \mathbb{R}^n$, la ecuación de $Ax = b$ tiene la solución $x = Bb \in \mathbb{R}^m$. Desde $\operatorname{rank}(A) = n$, el rango de-nulidad teorema aplicado a $A$ implica que el $m \geq n$.

Del mismo modo, de $BA = I_m$, se deduce $m \leq n$, lo $m=n$ como se desee.

Answer 3

Sugerencia:

$tr(AB) = tr(BA)$;

donde $tr(A)$ es la traza de $A$ (suma de los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada).