Es $\text{rational}^{\text{irrational}}$ racional o irracional?

Question

Es el número de $\text{rational}^{\text{irrational}}$ racional o irracional?

Por ejemplo,$2^{\sqrt{2}}$: ¿es racional o irracional?

He intentado utilizar un logaritmo, pero no funcionó. Parece superficial por el estudio que va a ser irracional. Pero ¿cuál es la prueba?

Answer 1

Dados cualesquiera dos números racionales, $a,b$, tenga en cuenta que $a^{\log_a(b)} = b$ es racional pero $\log_a(b)$ generalmente no es racional.

Por ejemplo, $2^{\log_2(3)} = 3$ pero $\log_2(3)$ no es racional.

Por lo que un número racional llevado a una explotación irracional de energía puede ser racional.

Sin embargo, si $a\neq 0,1$ es racional (de hecho, incluso algebraicas) y $b$ es un irracional algebraica de números, entonces se sabe que $a^b$ es realmente trascendental. Este es el llamado Gelfond–Schneider teorema.

Answer 2

Este es esencialmente el Gelfond-Schneider Teorema que dice:

$$ \text{Si } a,b \text{ son algebraicas}, \neq 0,1 \text{ y } b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ entonces } a^b \text{ es trascendental.} $$

Ahora cada trascendental número también es irracional, y todo número racional es algebraico. $\sqrt{2}$ es también algebraicas, por lo que en este caso, sí $2^\sqrt{2}$ es irracional y trascendente.

Pero (creo) un no-cero algebraica de números a la potencia de un trascendental número puede ser racional o irracional, tan racional a la potencia de un irracionales puede ser racional, sólo si el irracional es también trascendental. Para ejemplos concretos tenga en cuenta que $\log_2 (3)$ es irracional, sino $2^{\log_2 (3)} = 3$, sin embargo sospecho $2^\pi$ es irracional.

Ejemplos de números algebraicos son decir $\sqrt{n}$ o $\sqrt{3 + \sqrt{2}}$ o cualquier cosa que es la raíz de un polinomio (que es, de hecho, la definición), mientras que la trascendental números son más como $\pi$ o $e$.

Esperemos que esto era útil para usted, pero en el ejemplo particular, si $2^\sqrt{2}$ es irracional.