Tenga cuidado: Una homotopy equivalencia es de ninguna manera un bijection en general: Deje $X = \mathbb{R}$$Y = \{\ast\}$. También, un homotopy equivalencia necesidad de no restringir a una homotopy equivalencia de subespacios. Por ejemplo, la proyección ortogonal de a $\mathbb{R}^2$ a de la $x$, el eje es un homotopy de equivalencia. Sin embargo, los mapas de la unidad de círculo para el intervalo de $[-1,1]$ y estos dos espacios no son ciertamente homotopy equivalente (pero esto no es completamente obvio). Más simple aún, tomar el subespacio $([-1,1] \times \{0\}) \cup ([-1,1] \times \{1\})$ $\mathbb{R}^2$ y a su imagen, $[-1,1]$ bajo la proyección: obtendrás una contradicción a su ejercicio.
Las expresiones $gf \simeq \operatorname{id}_{X}$ $fg \simeq \operatorname{id}_{Y}$ significa que $gf$ $fg$ son homotópica a las respectivas identidades. (por cierto: es más habitual el uso de $\simeq$ \simeq en lugar de $\cong$ "homotópica")
Un mapa continuo envía componentes de la ruta en la ruta de los componentes (porque envía rutas de acceso a las rutas). El componente de la ruta de un punto de $x$ es enviado a la componente de la ruta de su imagen, $f(x)$ y el componente de la ruta de $f(x)$ es enviado a la componente de la ruta de $gf(x)$. Pero como $gf \simeq \operatorname{id}_{X}$, un homotopy $H: X \times [0,1] \to X$ tal que $H(\cdot,0) = gf$ $H(\cdot,1) = \operatorname{id}_{X}$ nos da el camino de $\gamma(t) = H(x,t)$ conectar $gf(x)$$x$, por lo que el componente de la ruta de $gf(x)$ es el mismo que el componente de la ruta de $x$. Dejo que termine el argumento de ti mismo.
Añadido en respuesta a la editada pregunta.
Deje $[x]$ ser el componente de la ruta de $x$. Permítanme escribir $f_{\ast}: \pi_{0}(X) \to \pi_{0}(Y)$ en lugar de $f^\ast$. Por definición, $f_{\ast}[x] = [f(x)]$ (verificar que esta bien definido!). En mi último párrafo anterior argumenté que $[gf(x)] = [x]$ $g_\ast f_\ast [x] = [x]$ (compruebe que $(gf)_\ast = g_\ast f_\ast$!). En otras palabras $g_\ast f_\ast = (\operatorname{id}_{X})_{\ast} = \operatorname{id}_{\pi_{0}(X)}$ (compruebe que $(\operatorname{id}_X)_\ast = \operatorname{id}_{\pi_{0}(X)}$!). En particular, $f_{\ast}$ es inyectiva y $g_\ast$ es surjective. Por simetría tenemos $f_\ast g_\ast = \operatorname{id}_{\pi_{0}(Y)}$, lo $f_{\ast}$ $g_\ast$ son mutuamente inversas bijections.
Un poco más tarde
Quizás es mejor empezar de cero.
Definir una relación de equivalencia en $X$ $x \sim x'$ si y sólo si existe un camino que conecta $x$$x'$. Las clases de equivalencia de a $\sim$ son precisamente los componentes de la ruta de $X$. En otras palabras, $\pi_{0}(X) = X/\!\!\sim$. Escribir $[x]$ $\sim$- clase de equivalencia de a $x$ (por lo $[x]$ es el componente de la ruta de $x$).
Hecho 1: Un mapa continuo $f: X \to Y$ envía componentes de la ruta en componentes de la ruta. En otras palabras, si $x \sim x$$f(x) \sim f(x')$.
De hecho, si $\gamma: [0,1] \to X$ es un camino con $\gamma(0) = x$ $\gamma(1) = x'$ $f \circ \gamma: [0,1] \to Y$ es una ruta de acceso y el $f(\gamma(0)) = f(x)$$f(\gamma(1)) = f(x')$, lo $f(x) \sim f(x')$.
De nuevo en otras palabras Hecho 1 nos dice que $f$ se obtiene un mapa de $f_{\ast}: \pi_{0}(X) \to \pi_{0}(Y)$. Explícitamente,
\[
f_{\ast}([x]) = [f(x)].
\]
Esto está bien definida porque para $x \sim x'$ tenemos $f(x) \sim f(x')$, lo $[f(x)] = [f(x')]$.
A partir de esta descripción vemos que $(\operatorname{id}_{X})_{\ast}([x]) = [\operatorname{id}_{X}(x)] = [x] = \operatorname{id}_{\pi_{0}(X)}([x])$, lo $(\operatorname{id}_{X})_{\ast} = \operatorname{id}_{\pi_{0}(X)}$. También se $(gf)_{\ast}([x]) = [gf(x)] = g_{\ast}([f(x)]) = g_{\ast}f_{\ast}([x])$, lo $(gf)_{\ast} = g_{\ast}f_{\ast}$.
Desde las dos identidades he probado son tan importantes, permítanme estado de nuevo para dar énfasis:
Hecho 2: la identidad $\operatorname{id}_{X}: X \to X$, y cualquiera de los dos mapas de $f:X \to Y$ $g: Y \to Z$
tenemos $$\displaystyle
(\operatorname{id}_{X})_{\ast} = \operatorname{id}_{\pi_{0}(X)}:
\pi_{0}(X) \a \pi_{0}(X) \qquad\text{y}\qquad (gf)_{\ast} = g_\ast f_\ast : \pi_{0}(X) \a \pi_{0}(Z)
$$
Fact 3: If $f, f': X \a Y$ are homotopic, $f \simeq f'$, then $f_{\ast} = f'_{\ast}: \pi_{0}(X) \a \pi_{0}(Y)$.
Indeed, pick a homotopy $H: X \times [0,1] \a Y$ such that $f = H(\cdot,0)$ and $f' = H(\cdot,1)$. Since $t \mapsto H(x,t)$ is a path connecting $f(x)$ to $f'(x)$ we see that $f(x) \sim f'(x)$, so $f_{\ast}[x] = [f(x)] = [f'(x)] = f'_\ast[x]$.
Now we are finally in shape to solve the exercise. Let $f: X \a Y$ and $g: Y \X$ be such that $gf \simeq \operatorname{id}_{X}$ and $fg \simeq \operatorname{id}_{Y}$. Entonces la combinación de hechos 2 y 3 tenemos que
$$\displaystyle
(\operatorname{id}_{X})_\ast = g_{\ast} f_{\ast}
\qquad \text{y}\qquad
(\operatorname{id}_{Y})_\ast = f_{\ast} g_{\ast}
$$
y como $(\operatorname{id}_X)_\ast = \operatorname{id}_{\pi_{0}(X)}$ vemos que $f_{\ast}$ $g_{\ast}$ son mutuamente inversas bijections.
