Deje que $K$ ser un campo y $f(x)$ ser un polinomio irreducible sobre $K$ . Supongamos, $f(x)$ tiene un grado al menos $2$ . ¿Es posible que si $a,b$ son dos raíces de $f(x)$ con $a \neq b$ Entonces $K(a)=K(b)$ . Note que necesito igualdad, no isomorfismo.
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Matt Dawdy
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Creo que vale la pena elaborar esta distinción entre igualdad e isomorfismo. El problema ocurre si la extensión que estás considerando no es normal y por lo tanto puede incrustarse en un cierre algebraico de más de una manera. Por ejemplo, el campo abstracto $ \mathbb {Q}[x]/(x^3 - 2)$ se incrusta de tres maneras en $ \mathbb {C}$ que corresponden a las tres raíces de $x^3 - 2$ . Así que no tiene sentido preguntar si $ \mathbb {Q}[x]/(x^3 - 2)$ es "igual a" $ \mathbb {Q}[y]/(y^3 - 2)$ sin especificar una incrustación en un campo más grande.
Este es un punto bastante sutil que no creo que se aborde particularmente bien en las introducciones a la teoría de Galois (al menos las que he visto). Hay tres categorías en las que uno podría trabajar cuando estudia los campos (donde $K$ es un campo fijo):
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La categoría de los campos. Aquí es "malvado" (realmente, imposible) hablar de la "igualdad" de dos campos y sólo se puede hablar de isomorfismo.
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La categoría de las extensiones de campo (digamos, algebraicas) $K \to L$ . (Los morfismos son morfismos $ \phi : L \to L'$ haciendo que el triángulo obvio se desplace.) Aquí sigue siendo "malvado" hablar de la "igualdad" de dos extensiones, y sólo se puede hablar de isomorfismo, pero el isomorfismo tipo de una extensión $K \to L$ no está determinado por el tipo de isomorfismo de $L$ (eso es, $L$ puede ser una extensión de $K$ en más de una forma).
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La categoría de subcampos de $ \bar {K}$ que contiene $K$ (para una incrustación fija $K \to \bar {K}$ ). Esta es la categoría en la que tiene sentido tomar las intersecciones y la composición de los campos; no se puede hacer ninguna de estas construcciones en la categoría anterior. Aquí, por fin, se puede hablar de igualdad (como subcampos de $ \bar {K}$ ), y no es lo mismo que el isomorfismo de $K$ -extensiones, que a su vez no es lo mismo que el isomorfismo de los campos abstractos.
A veces la gente no especifica en cuál de las categorías anteriores trabaja, y hasta que no lo hace no puede ser precisa: hay tres nociones diferentes de igualdad o isomorfismo en la última categoría.
Lorin Hochstein
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Para la pregunta de realmente tiene sentido que necesitemos arreglar un cierre algebraico de $K$ y trabajar siempre dentro de ella; de lo contrario, podemos incluso hacer dos construcciones de $K(a)$ que no sería "igual" (por ejemplo, construir $ \mathbb {Q}(i)$ como el conjunto de pares $(a,b) \in\mathbb {Q}^2$ con la adición/multiplicación adecuada; o como $ \mathbb {Q}[x]/(x^2+1)$ o como el conjunto de símbolos formales $a+bi$ con $a,b \in\mathbb {Q}$ etc.) Añadido: Vea la respuesta de Qiaochu para una explicación mucho mejor de este asunto.
Dado que, sí, es posible: para un ejemplo trivial, tomemos $K$ para ser un campo finito con $q$ elementos. Entonces ambos $K(a)$ y $K(b)$ son extensiones de grado $ \deg (f)$ sobre $K$ Si $ \deg (f)=n$ entonces este es un campo con $q^n$ elementos, y dado que hay un campo único de $q^n$ elementos que se encuentran dentro del cierre algebraico de $K$ , $K(a)=K(b)$ . De hecho, en este caso usted siempre tienen esa situación.
Para un ejemplo no finito en un campo de características $0$ tomar cualquiera de los dos $ \mathbb {Q}( \sqrt {d})$ el polinomio irreductible es $x^2-d$ que tiene raíces $ \sqrt {d}$ y $- \sqrt {d}$ naturalmente, $ \mathbb {Q}( \sqrt {d})= \mathbb {Q}(- \sqrt {d})$ (siempre dentro del mismo cierre algebraico fijo)
Para otro ejemplo, tomemos $f(x)$ al polinomio ciclotómico $ \Phi_n (x)$ con $K= \mathbb {Q}$ las raíces son precisamente las primitivas $n$ -Raíz de la unidad, y todas las extensiones son iguales a $ \mathbb {Q}(e^{2 \pi i/n})$ (de nuevo, siempre sentado dentro del mismo cierre algebraico fijo de $ \mathbb {Q}$ ).
Añadido: Más generalmente, cualquier extensión simple $K(a)$ que es Galois sobre $K$ tendrá la propiedad, ya que el polinomio irreductible de $a$ necesariamente se divide en $K(a)$ . Eso significa que si $f(x)$ es el polinomio irreductible de $a$ entonces para cualquier raíz $r$ de $f(x)$ en el cierre algebraico fijo de $K$ que contiene $K(a)$ tenemos $r \in K(a)$ así que $K(r) \subseteq K(a)$ pero aplicando el isomorfismo habitual obtenemos que $f(x)$ también debe dividirse en $K(r)$ así que $a \in K(r)$ por lo tanto $K(a) \subseteq K(r)$ dando igualdad. En particular, esto se aplica a cualquier extensión finita de Galois de un campo perfecto. Esto incluye todos los ejemplos que he dado anteriormente.
Por el contrario, afirmo que si $f(x)$ es un polinomio irreducible sobre $K$ con un grado al menos $2$ y para dos raíces cualesquiera $a$ y $b$ de $f(x)$ en un cierre algebraico fijo de $K$ tenemos que $K(a) = K(b)$ Entonces $K(a)$ es el campo de división de $f(x)$ (y así si $f(x)$ es separable, $K(a)$ es una extensión finita de Galois de $K$ ). De hecho, esto es trivial, ya que para cualquier raíz $b$ de $f(x)$ tenemos $b \in K(b)=K(a)$ así que $K(a)$ contiene todas las raíces de $f(x)$ ; ya que $K(a)$ es el campo que menos contiene $a$ , $K(a)$ está contenida en el campo de división de $f(x)$ sobre $K$ mostrando así $K(a)$ es el campo de separación.
