Evaluación de $\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac14+\sqrt{\frac18+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2^n}}}$

Question

Estaba jugando solo con una calculadora y llegó a la conclusión que:

$$ \sqrt{\frac12+\sqrt{\frac14+\sqrt{\frac18+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2^n}}} \approx 1,29$ $

Ahora tengo curiosidad. ¿Es posible evaluar el valor exacto de las siguientes?

Answer 1

Esta pregunta está relacionada con al menos otras cinco personas:

• Problema 6 de la OMI 1985
• ¿Cómo encontrar este límite: $A=\lim_{n\to \infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\frac{1}{n}}}}}$
• Encontrar el límite de $L=\lim_{n\to \infty} \sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\cdots+\sqrt[n]{\frac{1}{n}}}}$
• La evaluación de la suma de $\lim_{n\to \infty}\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots+\sqrt[n]{2}}}}$
• Límite de $\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-\sqrt[3]{x-\sqrt[4]{x-\sqrt[5]{x -...}}}}$

Esto hace que una respuesta corta posible (y deseable).
Para un numéricos de cálculo hacia atrás la recursividad se propone (de nuevo): $$ a_{n-1} = \sqrt{1/2^n+a_n} \qquad \mbox{con} \quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0 $$ Aquí viene el programa en Pascal fragmento de código que se supone que para hacer el trabajo:

programa aparte;

procedimiento de nuevo(n : integer);
var
 una,dos : doble;
 k : integer;
comenzar
 dos := 1;
 para k := n 2 downto ¿
 dos := dos/2;
 r := 0;
 para k := n 2 downto ¿
comenzar
 a := sqrt(dos+a);
 dos := dos*2;
end;
Writeln ();
end;

comenzar
de nuevo(52);
final.

Tenga en cuenta que un error de análisis no está implementado en el programa. Esto no tiene mucho sentido debido a la exactitud está determinada por la mínima de $1/2^n$ que puede ser representado con cierta importancia; es por $n\aprox 52$ en doble precisión Pascal. El resultado es, por supuesto, en concordancia con el valor que ya se encuentran por Lucian:

1.28573676335699 E+0000

Descargo de responsabilidad.

Yo sin duda hubiera tratado de la forma cerrada - lo que sea que eso significa en los tiempos modernos - si yo sólo podía creer que tal una cosa sí existe aquí.

Answer 2

$$y=\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac14+\sqrt{\frac18+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2^n}}}}}\equiv\sqrt{\frac12+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac12+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2}}}}\right)}$$

$$y=\sqrt{\frac12+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac12+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2}}}}\right)}$$ Pero el Dejar el término en el soporte de x por lo tanto:$$x=\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac12+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2}}}}\equiv\sqrt{\frac12+x}$$ el cuadrado ambos lados $$x^2=\frac12+x$$ $$x^2-x-\frac12=0$$resolviendo la ecuación se obtiene: $$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$ pero tenemos $$y=\sqrt{\frac12+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac12+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2}}}}\right)}=\sqrt{\frac12+\frac{1}{\sqrt{2}}x}$$ Poner el valor de x en y le da$$ $ y=\sqrt{\frac12+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1+\sqrt{3}}{2}}=1.211$$ Por lo tanto, $$\sqrt{\frac12+\sqrt{\frac14+\sqrt{\frac18+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2^n}}}}}=1.211$$ Este es un valor exacto.