Definición de grupo simple

Question

Herstein definió un grupo simple de la siguiente manera:

Se dice que un grupo es simple si no tiene ninguna imagen homomórfica no trivial.

Por favor, ayúdenme a entender lo que significa imagen homomórfica no trivial.

Gracias.

Answer 1

Dicho de otro modo, cualquier homomorfismo del grupo es un monomorfismo (por lo que la imagen del homomorfismo es el grupo con el que empezamos, a todos los efectos) o el homomorfismo que mapea todo a la identidad (por lo que la imagen del grupo es el subgrupo trivial generado por la identidad del grupo al que estamos mapeando). Si el homomorfismo no es inyectivo y no es el homomorfismo que mapea todo a la identidad, entonces la imagen del grupo bajo el homomorfismo no se "parece" al grupo, ni al subgrupo trivial. Eso es lo que Herstein entiende por "imagen homomórfica no trivial".

Equivalentemente, el núcleo de cualquier homomorfismo del grupo es el subgrupo trivial generado por el elemento de identidad del grupo, o es el grupo entero. Como para cualquier subgrupo normal existe un homomorfismo que lo tiene como núcleo (proyección sobre el grupo cociente), y el núcleo de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal del dominio, entonces la definición de Herstein es equivalente a: "Se dice que un grupo es simple si no tiene subgrupos normales propios no triviales".

Answer 2

Hay una definición más realista:

Un grupo $G$ es simple si $G$ no tiene ningún subgrupo normal no trivial.

Esta definición explica mejor por qué los grupos simples se llaman simple porque al no contener subgrupos normales no se pueden dividir más.

Veamos primero por qué las dos definiciones son equivalentes. Si $G$ tiene un subgrupo normal $N$ entonces tenemos un homomorfismo de grupo \begin{equation} G\xrightarrow{\pi}G/N \end{equation} donde $G/N$ es una imagen homomórfica de $G$ y no es trivial (ya que $N$ no es trivial).

Si $G\xrightarrow{\phi}H$ es un homomorfismo de grupo donde la imagen $\phi(G)\neq 0$ y $\phi(G)\neq G$ entonces $\operatorname{ker}(\phi)$ es un subgrupo normal no trivial. Por tanto, las dos definiciones son efectivamente equivalentes.

Aunque las dos definiciones son equivalentes, demuestran dos puntos de vista diferentes. La mía define la simplicidad como una propiedad de un grupo en sí mismo (en términos de ciertos subconjuntos), mientras que tu definición la define en términos de cómo $G$ interactúa con otros grupos (en este caso, sólo interactúa con $0$ y a sí mismo).

Este cambio de punto de vista me parece una tendencia muy importante en las matemáticas modernas. Un ejemplo muy trivial, pero esclarecedor, es la definición de inyecciones y proyecciones.

Así que dejemos \begin{equation} A\xrightarrow{f}B \end{equation} sea una función entre conjuntos. Con los pies en la tierra, podríamos llamar $f$ inyectiva si $f(a)=f(a')$ implica $a=a'$ . De nuevo, esto define la inyectividad como una propiedad de la propia función. Sin embargo, también podemos definirla observando cómo $f$ interactúa con otras funciones: $f$ es inyectiva si \begin{equation} f\circ g_1=f\circ g_2 \end{equation} implica \begin{equation} g_1=g_2. \end{equation} No es difícil ver que estas dos definiciones son equivalentes, pero hay que tener en cuenta que la segunda definición no habla de mapas ni de puntos ni de imágenes. Caracteriza la inyectividad en términos de cómo $f$ interactúa con otras funciones, y tiene más posibilidades de generalizarse a otros objetos, ya que sólo necesitamos que éstos interactúen entre sí (no es necesario que haya puntos o imágenes).

Existe una definición similar para las proyecciones: $f$ es suryente si \begin{equation} g_1\circ f=g_2\circ f \end{equation} implica \begin{equation} g_1=g_2 \end{equation} .

Answer 3

Una afirmación equivalente es decir que el grupo no tiene subgrupos normales no triviales. Esto es porque si tuviera un subgrupo normal no trivial, ese subgrupo normal sería el núcleo de algún homomorfismo, una contradicción con su definición.

Answer 4

Lo más importante es darse cuenta de que las imágenes homomórficas están en correspondencia con los subgrupos normales: dada una imagen homomórfica de un grupo, se tiene un núcleo asociado. Y dado un subgrupo normal, se tiene una imagen homomórfica asociada del grupo (la proyección del grupo sobre su cociente).

Answer 5

La palabra trivial se utiliza en matemáticas de forma muy dependiente del contexto. Aquí imagen homomórfica no trivial se entiende que excluye dos casos triviales que se dan para cada grupo.

Un grupo $G$ se tiene a sí mismo (o a una copia isomorfa) como imagen homomórfica, y también la imagen de un grupo trivial que contiene un solo elemento (el grupo trivial identidad). Estas dos imágenes homomórficas se consideran trivial casos, y la definición de un grupo simple equivale a decir que no hay otras posibilidades para una imagen homomórfica.

Como señalan otras respuestas, la definición de grupo simple se suele plantear como una propiedad equivalente sobre subgrupos normales, es decir, que sólo existe el grupo $G$ y el subgrupo trivial (identidad) que son normales en $G$ . Estas formas de definición son equivalentes por la Primer teorema de isomorfismo (para grupos) .