Mostrando $A+B$ es invertible?

Question

La pregunta número dos de este examen le pregunta:

Vamos $A$, $B$ dos $n \times n$ matrices con elementos reales, que $A^3 = B^5 = I_n$$AB = BA$. Demostrar que $A+B$ es invertible.

No estoy exactamente seguro de qué hacer. He observado que:

$$A(A^2) = I_n$$ $$B(B^4) = I_n$$

Así:

$$A^{-1} = A^2$$ $$B^{-1} = B^4$$

Mi enfoque general para el problema ha sido el considerar el binomio de expansión de $(A+B)^n$ y ver si las cosas cancelar ser $I_n$ o un múltiplo de $I_n$, y con la que construir una explícita inversa de a $A+B$.

Para $n \in \{1,2,3,4,5\}$ nada parece disminuir a la identidad, que me lleva a creer que este es el enfoque equivocado. Cualquier sugerencias como la forma de abordar este problema, sería muy apreciado gracias.

Answer 1

$2I_n=A^{15}+B^{15}=(A+B)(A^{14}-A^{13}B+......-AB^{13}+B^{14})$

Answer 2

Desde $A^3 = B^5 = I_n$, autovalor de a $A$ es la raíz de $x^3-1=0$ y el autovalor de a $B$ es la raíz de $x^5-1=0$. Ya que ambas ecuaciones tienen sólo simple raíces, $A$ $B$ son diagonalizable sobre $\Bbb{C}$. Además $AB=BA$, $A$ y $B$ son simultáneamente diagonalizable. Así, el autovalor de a $A+B$ $e^{2ki\pi/3}+e^{2ji\pi/5}$ donde $0\leqslant k \leqslant 2, \:0\leqslant j \leqslant 4$. Pero ninguno de ellos es cero. Por lo $A+B$ es invertible.