Demostrar que $\exists x_0, x_1\in (0,1)$ , de tal manera que $\frac{f'(x_0)}{x_0}+\frac{f'(x_1)}{x_1^2}=5$

Question

Dejemos que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función diferenciable, tal que $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Demostrar que existen diferentes $x_0, x_1\in (0,1)$ , de tal manera que $$\frac{f'(x_0)}{x_0}+\frac{f'(x_1)}{x_1^2}=5$$

He pensado en la posibilidad de utilizar el teorema de Cauchy, de modo que sólo habría que demostrar que existe $k, l\in (0,1)$ tal que $f(k)=k^2$ y $f(l)=l^3$ pero no sé cómo probarlos. ¿Alguna pista?

Edición 1 : Aparentemente mi pensamiento es erróneo, ¿alguna idea?

Answer 1

Considere la función $g(x) = \frac{1}{3}x^3$ . Entonces como es diferenciable en $(0,1)$ y continua en $[0,1]$ por el teorema del valor medio de Cauchy tenemos $\exists c \in (0,1)$ s.t:

$$\frac{f(1) - f(0)}{g(1) - g(0)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \implies \frac{f'(c)}{c^2} = 3$$

Del mismo modo ahora tomando $h(x) = \frac{1}{2}x^2$ por el teorema del valor medio de Cauchy $\exists d \in (0,1)$ s.t:

$$\frac{f(1) - f(0)}{h(1) - h(0)} = \frac{f'(d)}{h'(d)} \implies \frac{f'(d)}{d} = 2$$

De ahí la prueba.