¿Una suma finita de recíprocos primos distintos da siempre una fracción irreducible?

Question

Si sumamos un número finito de primos recíprocos cualquiera, ¿el resultado será siempre una fracción irreducible?

Si no es así, ¿hay algún límite en el valor del máximo común divisor para el numerador y el demoninador de dicha fracción?

Esto se reduce a la pregunta sobre el máximo común divisor para:

$$Q=p_1p_2 \cdots p_n~~\text{and}~~P=\sum_{k=1}^{n} \frac{Q}{p_k}$$

Aquí $\{p_k\}$ es cualquier subconjunto finito de primos.

Si esta pregunta es trivial, me disculpo de antemano. Lo comprobé rápidamente para primos pequeños y sólo obtuve fracciones irreducibles. La teoría elemental de los números no es mi punto fuerte.

Answer 1

Para primos distintos $p_1,\dots,p_n$ la fracción $S=\frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_n}$ es siempre irreducible. Porque si fuera reducible, algunos $p_i$ "cancelaría", sin pérdida de generalidad $p_1$ . Así que podríamos expresar $S$ como $\frac{A}{p_2p_3\cdots p_n}$ .

Multiplica ambos lados de la ecuación $$\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots+\frac{1}{p_n}=\frac{A}{p_2p_3\cdots p_n}$$ por $p_2p_3\cdots p_n$ . En el lado derecho obtenemos un número entero. En el lado izquierdo no.

Answer 2

Como ha demostrado, esto se reduce a la cuestión de si $$P=\sum_{k=1}^n p_1p_2\ldots\hat p_k\ldots p_n$$ y $p_1\ldots p_n$ son coprimos, donde $\hat a$ significa que el producto excluye $a$ .

Los únicos candidatos a factores primos comunes son los $p_i$ . Pero

$$S\equiv p_1p_2\ldots\hat p_i\ldots p_n\pmod {p_i}$$ que es distinto de cero ya que los primos son distintos y no son iguales a $p_i$ . Por lo tanto, $p_i\nmid S$ para cada $i$ .