Hacer a los estudiantes a entender serie infinita antes de ser introducido de manera informal?

Question

Presentamos secuencias infinitas y series muy a fondo en el cálculo de las clases. Primero se definen secuencias infinitas, luego de la serie, cuidadosamente discutir las nociones de convergencia, etc., y hablar de todo tipo de reglas para la convergencia antes de permitir a los estudiantes a ver a Taylor del teorema.

Sin embargo, supongamos que sólo se iban a la junta y escribió $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ sin hacer una definición general de una serie infinita, o para explicar nada sobre la convergencia. (Es de suponer que uno iba a tener que explicar factoriales para que el patrón es claro.)

O, más simplemente, uno podría escribir $$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$$

He tenido interesantes debates con colegas como si esta es una buena idea, y nuestros debates parecen depender de una cuestión empírica.

Son estas fórmulas fácilmente comprensible para, digamos, Calc I los estudiantes, brillantes estudiantes de la escuela secundaria de tomar concursos, o de otros estudiantes que no han tenido exposición formal a la serie infinita? O son series infinitas una auténtica conceptual piedra de tropiezo para los estudiantes?

Por ejemplo, los estudiantes serán capaces de ver cómo la primera fórmula que les permite encontrar rápidamente precisa de aproximaciones para $e$?

Answer 1

Por lo que vale la pena: Cuando inicio la enseñanza acerca de la serie en cálculo I suelen comenzar pidiéndoles que lo que uno obtendría si se añade $1$ a sí mismo un número infinito de veces. Que es, me pregunto $$ 1 + 1 + 1 + \dots $$ Realmente no toma mucho tiempo para que alguien conteste que esto sería infinito. Yo, a continuación, repita de nuevo a ellos que es correcto y que tendría sentido ya que usted está agregando un número infinito de números positivos. Yo, a continuación, obtener de ellos convencidos de que este es el caso: una infinita suma de un número positivo siempre debe al infinito, a la derecha?

Luego escribo $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots. $$ Ahora toda la clase llamada que esto es también infinito. Entonces me ley todos se sorprenden. A continuación, dibuje un círculo, y se llevará a cabo la primera mitad del círculo, luego un cuarto y así sucesivamente. Entonces yo pregunto otra vez la pregunta: Entonces, ¿qué es esto igual? De nuevo, no toma mucho tiempo para que alguien diga $1$.

En mi experiencia, puede introducir bastante complicado temas con un ejemplo simple para hacer más fácil la digestión inicialmente. Y también es interesante ver cómo los estudiantes reaccionan cuando se dan cuenta de que lo que yo había convencido de $2$ min hace (que era tan intuitivo) estaba mal, en realidad. Si usted puede tener los estudiantes para caminar de una clase como la que hablar sobre la manera en que la filosofía tiene sentido, entonces yo creo que usted ha logrado algo.

Así que, en mi opinión, creo que se puede introducir la serie muy pronto. Si quieres tener a probar cosas sobre la serie, entonces, por supuesto, que necesita hablar acerca de las secuencias y los límites de la primera, pero no creo que esa serie son en ellos mismos un "conceptual piedra de tropiezo para los estudiantes".

De nuevo, en mi opinión, usted puede traer una gran cantidad de matemáticas de manera que se pueden introducirse incluso estudiantes de la escuela secundaria. En realidad todo depende de cuánto quieras hacer.

Me gustaría tener alguna preocupación con la entrega de una hora de hablar de la serie a un grupo de interesados en estudiantes de secundaria.

Tal vez lo importante es que usted no solo en la serie a para $e^x$ como el primero, pero tal vez espere hasta que los estudiantes se sienten un poco cómodo con la serie. Después de eso, usted puede simplemente dar una serie y mostrarles cómo es que la serie en realidad se puede utilizar para aproximar las cosas.

Después de eso, les mostramos esta serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. $$

Pregúnteles si pueden adivinar lo que la serie es igual a (usted podría convencerlos de que no es infinito). Con un poco de actuación, se puede hacer muy sorprendente que, en realidad, equivale a:

$$ \frac{\pi^2}{6}. $$

Y a ellos les digo que posteriormente en el cálculo que se llega a ver una prueba de ello.

Answer 2

Pregunta interesante. En mi opinión personal (casi hecho con B. Sc. en algunos de matemáticas relacionados con el tema, de hecho la enseñanza y ejercicios para bajar semestre, los estudiantes) yo diría que hay dos tipos de sumas. Me llaman loco, pero hace una diferencia, si usted tiene $x$ escrito en el que se suma o no. \begin{align} 1=1/2+1/4+1/8+1/16+... \end{align} es algo muy intuitivo. Puede dibujar, o tratar con una calculadora y aunque usted no sabe que usted puede probar la convergencia, se tiene la sensación, que para más términos que se acerca a $1$. Un promedio inteligente estudiante de matemáticas muy pronto vendrá con \begin{align} 1= (1/2)^1 +(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+... \end{align} y si, a continuación, introducir la notación con $\sum$ van a entender, que el anterior puede escribirse como \begin{align} 1=\sum_{i=1}^{\infty} (1/2)^i \end{align} El segundo ejemplo, sin embargo, es menos intuitivo. "¿Qué hace una función exponencial tiene que ver con que el polinomio?" Pero el equipo puede cerrar este gab.

Ejemplo: El docente indica que se puede escribir $\exp(x)$ \begin{align} \exp(x)= 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+... \end{align} un estudiante promedio (o digamos yo) no habría inmediatamente creer que, en la pregunta anterior. Pero basta con usar algún software para probarlo. Hacer un video, muestran cómo su aproximación se pone mejor. El estudiante entonces tal vez creer. Aunque uno puede dudar de que esto también es muy grande $x$. Usted, a continuación, pedir a los estudiantes a encontrar el patrón, que es la parte importante. Cómo se puede escribir estos términos similares a los del $\sum 1/2^i$ plazo anteriormente. \begin{align} \exp(x)= 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+... = \sum_{i=0}^{\infty} x^0\cdot ? \end{align} Por lo tanto, usted necesita para decirles que $x^0=1$ y lo que algo acerca de $i!$. De nuevo un estudiante promedio va a decir: "¡Suerte! Sólo funciona esta vez." Y se repite el procedimiento anterior con $\sin(x)$ o $\cos(x)$ o $\log(x)$. Se verá entonces, que la suma es siempre la misma, una.k.una. Series de Taylor. Luego de que esta ES, de hecho, siempre que sea posible y para prueba de esto hay una cierta convergencia de los métodos. Por supuesto, usted ahora tiene que comenzar la explicación de estos métodos con un ejemplo sencillo como el anterior, pero desde mi experiencia, puede mover mucho más rápido a métodos más complejos de convergencia también la prueba de series de Taylor. Uno de ellos es simplemente menos intimidados por esa horrible Taylor plazo.

Así que mi planteamiento sería \begin{align} \text{finite series } &\rightarrow\text{infinite series } \rightarrow \text{Taylor series } \\ &\rightarrow \text{simple convergence methods } \rightarrow \text{difficult convergence methods } \end{align} en lugar de \begin{align} \text{finite series } &\rightarrow\text{infinite series } \rightarrow \text{simple convergence methods }\\ & \rightarrow \text{difficult convergence methods } \rightarrow \text{Taylor series } \end{align}