Un Binet-como la integral de la $\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{1-x} -\frac{1}{2} \right) \frac{x^s }{1-x}\mathrm{d}x$

Question

Conocí a esta integral

$$ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{1-x} -\frac{1}{2} \right) \frac{ \mathrm{d}x}{1-x} \qquad (*) $$

mientras que la evaluación de este registro-coseno integral. Hice varios intentos antes de tener éxito.

Encontrar una forma cerrada para

$$ I(s): = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{1-x} -\frac{1}{2} \right) \frac{x^s }{1-x}\mathrm{d}x, \quad \Re (s)>-1. \qquad (**) $$

Answer 1

Como se indicó en los comentarios, por los siguientes Feynman del enfoque integral tenemos: $$\begin{eqnarray*} I'(s) &=& \int_{0}^{1}\left(1+\frac{\log x}{1-x}-\frac{\log x}{2}\right)\frac{x^s}{1-x}dx\\ &=& \frac{1}{2}\zeta(2,s+1)+\int_{0}^{1}\left(1+\frac{\log x}{1-x}\right)\frac{x^s}{1-x}dx\\&=&\frac{1}{2}\zeta(2,s+1)-\frac{1}{2s+2}\phantom{}_3 F_2\left(1,1,2;3,s+2;1\right),\end{eqnarray*}$$ pero probablemente no hay una mejor forma para el segundo plazo.

Como cuestión de hecho, al tratar el segundo término de esta manera: $$\int_{0}^{1}\left(1+\frac{\log x}{1-x}\right)\frac{x^s}{1-x}dx=\lim_{a\to 0^+}\int_{0}^{1}\left(1+\frac{\log x}{1-x}\right)\frac{x^s}{(1-x)^{1-a}}$$ obtenemos: $$ I'(s)=\frac{1}{2}\psi'(s+1)+s\,\psi'(s)+\psi(s)-\psi(s+1)-1\tag{1}$$ donde $\psi$ es la función digamma $\psi(s)=\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}$. Mediante la integración de $(1)$ tenemos: $$ I(s) = I(1)+\frac{3\gamma+1}{2}-s+\frac{\psi(s+1)}{2}-\log\Gamma(s+1)+s\,\psi(s).\la etiqueta{2}$$

Todos necesitamos encontrar un cerrado expresión para $I(s)$ es ahora a evaluar $I(1)$ o $I(0)$, dado por $(2)$: $$ I(0)=I(1)+\gamma-\frac{1}{2}$$ sostiene. En virtud de $(2)$ también tenemos: $$\lim_{s\to +\infty} I(s) = I(1) + \frac{3\gamma-\log(2\pi)}{2},$$ pero ya $$ f(x)=\left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2}\right)\frac{x}{1-x}$$ es un continuo, de manera positiva, creciente y acotada de la función ( $f(x)\leq\frac{1}{12}$ )$(0,1)$, mientras $s\to+\infty$ tenemos $I(s)\leq\frac{1}{12s}$, lo $\lim_{s\to +\infty}I(s)=0$. Por lo tanto tenemos:

$$ I(1) = \frac{\log(2\pi)-3\gamma}{2},\qquad I(0) = \frac{\log(2\pi)-\gamma-1}{2} \tag{3}$$

y:

$$ I(s) = \frac{1+\log(2\pi}{2}-s+\frac{\psi(s+1)}{2}-\log\Gamma(s+1)+s\,\psi(s).\la etiqueta{4}$$

Como un bono, por la expansión de $(4)$ en un barrio de $+\infty$ y la explotación de la convexidad, también se puede mostrar que: $$\frac{1}{12s+8}\leq I(s)\leq\frac{1}{12s+6}$$ holds for any $s\in\mathbb{R}^+$.

Answer 2

Recordemos la fórmula de Binet $$ \log \Gamma(z)= \left( z-\frac{1}{2}\right)\log z - z + \frac{1}{2}\log(2\pi) + \int_0^{\infty} \! \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e^{x}-1} \right)\frac{e^{-zx}}{x} \mathrm{d}x,\quad \Re z >0 $$ que, en el momento de realizar $x = - \log v$, puede ser escrito como

$$ \log \Gamma(z)= \! \left( z-\frac{1}{2}\right)\log z - z + \frac{1}{2}\log(2\pi) - \!\! \int_0^{1} \! \left(\frac{1}{\log v}+\frac{1}{1-v}-\frac{1}{2}\right)\frac{v^{z-1}}{\log v}\mathrm{d}v, \, \Re z >0 $$

y de Gauss fórmula

$$ -\psi(z)+\log z = \int_0^{1} \left(\frac{1}{\log v}+\frac{1}{1-v}\right)v^{z-1} \mathrm{d}v. $$

Uno puede comprobar que \begin{multline} \displaystyle \left(\frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u} - \frac{1}{2} \right) \frac{u^s}{1-u} = u^{s} \frac{d}{du}\left\{u \left(\frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u}\right)\right\} \, \\ + \left(\displaystyle \frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u} - \frac{1}{2} \right) \frac{u^s}{\log u} - \frac{1}{2} \left(\displaystyle \frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u}\right)u^s. \end{multline}

De ahí nuestra integral de la $I(s)$ es la suma de tres integrales.

La primera, \begin{multline} I_{1}(s) =\displaystyle \left.\left(\frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u} \right)u^{s+1} \right|_{0}^{1} - s \int_{0}^{1}\! \displaystyle \left(\displaystyle \frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u}\right)u^{s} \mathrm{d}u, \end{multline} el uso de Gauss de la fórmula, $$ I_{1}(s) = \frac{1}{2} + s \left( \psi(s+1)-\log \left(s+1\right) \right). $$ La segunda, la aplicación de la fórmula de Binet, \begin{multline} I_{2} (s)= \displaystyle \int_{0}^{1}\! \left(\displaystyle \frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u} -\frac{1}{2} \right) \frac{u^{s}}{\log u} \mathrm{d}u \\ = -\log \Gamma(s+ 1)+ \left(s + 1/2 \right)\log \left(s+ 1 \right) - s - 1 + \frac{1}{2}\ln(2\pi). \end{multline} La tercera, el uso de Gauss fórmula una vez más \begin{equation} I_{3}(s) = - \frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{1}\! \left(\displaystyle \frac{1}{\log u} + \frac{1}{1-u}\right)u^{s} \mathrm{d}u = \frac{1}{2}\left( \psi(s+1)-\log \left(s+1\right) \right). \end{equation} En consecuencia, $ I(s)=I_{1}(s)+I_{2}(s)+I_{3}(s)$ está dado por

\begin{multline} I(s):= \displaystyle \int_0^{1} \left(\frac{1}{\log u}+ \frac{1}{1-u}-\frac{1}{2}\right) \frac{u^s}{1-u} \mathrm{d}u \\ = -\log \Gamma(s+1) + \left( s +\frac{1}{2}\right) \psi(s+1) - s - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln(2\pi). \end{multline}

Tenemos,$s=0$,

$$ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} -\frac{1}{2} \right) \frac{ \mathrm{d}x}{1-x} = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \ln (2 \pi)-\frac{1}{2} \gamma. $$