Abra la cubierta racionales subconjunto de R?

Question

Si yo fuera a cubrir cada número racional por parte de un no-vacío intervalo abierto, la unión siempre se R? Parece correcto para mí de forma intuitiva, pero estoy bastante seguro de que eso está mal. Gracias

Answer 1

Tal vez esto es una tontería, pero para un racional $q<\sqrt 2$, el intervalo abierto a ser $(-\infty,\sqrt 2)$, y para una racional $q>\sqrt 2$, el intervalo abierto a ser $(\sqrt 2,\infty)$. Este sería proporcionar un contraejemplo.

Answer 2

Si usted enumerar los racionales como una secuencia $x_1, x_2, \dots$, a continuación, puede tomar una secuencia de intervalos abiertos $(x_1-\delta, x_1+\delta), (x_2-\delta/2, x_2+\delta/2), (x_3-\delta/4, x_3+\delta/4), \dots$, lo que da una tapa abierta para $\mathbb{Q}$ de la longitud total $4\delta$, que se puede hacer tan pequeño como se desee, eligiendo $\delta$ suficientemente pequeño.

Answer 3

Tomar un número irracional $x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$. Si $q \in \mathbb{Q}$ es cualquier número racional, a continuación,$\left| x - q \right| = r_q > 0$. La unión de $\displaystyle \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} (q-r_q, q+r_q)$, no contiene $x$, y de manera particular no cubre $\mathbb{R}$.

[Curiosamente, cubre $\mathbb{R}-\{x\}$; pero usted puede cambiar su intervalos en que la unión de la fuerza que esto no sea el caso.]

Answer 4

Tomar una enumeración de racional vamos a decir $a_m$ y, a continuación, cubrir los racionales como este $A_m=(a_m-\frac{1}{m^2},a_m+\frac{1}{m^2})$ Ahora desde $ \sum \frac{1}{m^2}$ converge usted no puede abarcar todos los números reales

Answer 5

Esto no es cierto. Enumerar los números racionales como $\{q_n\vert n\in {\bf N}\}$.

A continuación, considere la posibilidad de la unión de $\bigcup_n(q_n-2^{-n},q_n+2^{-n})$. El conjunto tiene medida no mayor que $2$, mucho menos que la totalidad de la línea real.