Hay un número de $k\in\mathbb{N}$ tal que $k\cdot n$ tiene incluso una suma de los dígitos para todas las $n\in\mathbb{N}$?
Agradecería cualquier idea de cómo atacar este problema...
Respuestas
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No hay tal $k \in \mathbb{N}$ : dado cualquier $k$, se puede calcular un valor de $n$ tal que $kn$ tiene un extraño suma de dígitos.
Factorizar $k$$k = 2^a 5^b m$. A continuación, considere el siguiente entero
$$q = 10^{\max(a, b)} \sum_{i=1}^{m} {\left(10^{\phi(m)}\right)}^{i}$$
donde $\phi(m)$ es de Euler totient función. Pretendemos que $q$ es divisible por $k$. Desde $\gcd(2^a 5^b, m) = 1$, si podemos demostrar que $2^a 5^b \mid q$ $m \mid q$ vamos a hacer.
El término izquierda en el producto es divisible por $2^a 5^b$ en la construcción; ahora consideramos que el término derecho.
Desde $\gcd(m, 10) = 1$, el teorema de Euler nos dice que $10^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$. Además, para cualquier potencia de $i$, $1^i \equiv 1 \pmod m$. Así que todos los $m$ sumandos tienen el resto; es decir, que el término correcto es equivalente a $1 \cdot m \equiv 0 \pmod m$, e $m$ divide $q$.
En consecuencia, $q$ es divisible por $k$, que podemos escribir como $q = kn$ para algunos entero $n$.
¿Cuál es la suma de los dígitos en $q$? El término derecho es una suma de $m$ distintas potencias de diez, cuyos dígitos de la suma de a $m$. Multiplicando por la izquierda plazo, de una potencia de diez, no altera la suma, y por lo que la suma permanece $m$ – lo cual es extraño, por definición.
Pale Ale
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En primer lugar, podemos suponer que la $k$ no termina con $0$, ya que el $n \cdot (k\times 10^a)$ tiene incluso una suma de dígitos, si y sólo si $nk$ tiene incluso una suma de dígitos.
Deje $u$ ser un múltiplo de $k$ de manera tal que su último dígito es el no $0$, y el segundo al último dígito no es $9$: si $k$ satisface esta condición, tome $u = k$; si $k$ termina con una de las combinaciones de $91, 92, \dots, 98$, tome $u = 9k$ (terminará con $19, 28,\dots, 82$, respectivamente); si $k$ termina con $99$, tome $u = 11k$ (terminará con $89$).
Deje $k < 10^d$. Entonces no debe ser un entero $v$ tal que $9 \cdot 10^d \leq v < 10^{d + 1}$ $v$ es un múltiplo de a $k$. Tenga en cuenta que $v$ comienza con $9$.
Ahora, considere el número de $w = 10^d u + v$. Sunce $u, v$ son múltiplos de $k$, $w$ es también un múltiplo de $k$. La última no-dígito cero de $10^d u$ se encuentra en la posición $d + 1$ desde el final, que es también la posición del primer dígito de $v$ (y este dígito es $9$). Haciendo el tiempo, además, se puede ver que $S(w) = S(u) + S(v) - 9$ donde $S(\cdot)$ es la suma de los dígitos. Por lo tanto al menos uno de los números de $S(u), S(v), S(w)$ debe ser impar.
Evan Trimboli
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Lo que me gustaría tratar en lugar de venir con un método tal que para cualquier $k$ puedo encontrar una $n > 0$ tal que $kn$ tiene un extraño suma de dígitos. No tiene que ser lo más pequeño posible)$n$, tan sólo debe ser un $n$ que puede perfectamente espectáculo $kn$ tiene un extraño suma de dígitos.
Mi corazonada es que, si nada más, $$n = \frac{10^{\lceil \log_{10} k \rceil} - 1}{3} + 4$$ might make $kn$ have an odd digit sum. For example, $k = 11$ looks very stubborn, especially if you stop before $n = 19$. But with $n = 37$, you get $kn = 407$, que tiene un dígito de la suma de 11. Pero como he dicho, esto es sólo una corazonada, que puede estar mal.
Aunque... no estaría de tabular, hasta algunas pequeñas valor de $k$, dicen, $k = 99$, ¿cuál es la menor $n$ tal que $kn$ tiene de extraño suma de dígitos. Esto puede o no sugieren un patrón.
Lisa
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No hay tal número. Todos los números en el mundo hay pruebas, pero cuando alguien abdominales hasta un largish número, se ve muy raro.
La forma en que me gustaría empezar a atacar este problema es mostrar que para cada positivos $k$ hay infinitamente muchos $kn$, con una extraña raíz digital. Naturalmente es posible para $kn$ a tener una extraña raíz digital, pero incluso una suma de dígitos (por ejemplo, $99$).
