Deje $n$ ser un entero positivo, vamos a $f_1, \ldots, f_r : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser suave funciones, vamos a $Z_i = f_i^{-1} \{ 0 \} \subseteq \mathbb{R}^n$, y supongamos $Z_1 \cap \cdots \cap Z_r = \emptyset$.
Pregunta. Deben existir las funciones lisas $g_1, \ldots, g_r : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $f_1 g_1 + \cdots + f_r g_r = 1$?
Creo que la respuesta es no en general. En el otro lado:
- Basta para mostrar que no existen las funciones lisas $g_1, \ldots, g_r : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $f_1 g_1 + \cdots + f_r g_r$ desaparece en la nada, porque podemos cambiar la escala. Por lo tanto, un contraejemplo se tienen la propiedad de que, para cualquiera de las funciones lisas $g_1, \ldots, g_r : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $f_1 g_1 + \cdots + f_r g_r$ se desvanece en algún lugar.
- Si $0$ es un valor regular para cada una de las $f_i$, entonces la respuesta es sí: tomar una partición de la unidad $h_1 + \cdots + h_r = 1$ donde cada una de las $h_i$ tiene soporte contenida en $\mathbb{R}^n \setminus Z_i$ y, a continuación, defina $g_i = h_i / f_i$.
- Si reemplazamos $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ y "suave" con "polinomio", entonces este es un caso especial de Hilbert Nullstellensatz.
