Funcional de la ecuación: $R(1/x)/x^2 = R(x)$

Question

La siguiente información puede ser mostrada sin problemas.

Supongamos $R$ es una función racional que satisface la siguiente ecuación funcional. $$\begin{align} \frac{1}{x^2} R\left( \frac{1}{x} \right) = R(x) \qquad \forall \: x \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \tag{1} \end{align}$$

Entonces $$\int_0^\infty R(x) \cdot \log x \,\mathrm{d}x = 0$$ si converge.

La prueba se realiza mediante la división de la integral de$0$$1$$1$%#%. Y, a continuación, asigne $\infty$$[1,\infty) \to [0,1]$. Hay muchas funciones racionales, para satisfacer esta ecuación. Algunos ejemplos a continuación

$$R(x) = \frac{1}{x}\,,\ \frac{x}{(1+x^2)^2} \,,\ \frac{1}{x^2 + x + 1}\,,\ \frac{1}{x^2+1}$$

Mi pregunta es: se Puede encontrar grupos o familias de funciones de satisfacciones $u \mapsto 1/x$?

Answer 1

Observación: $R(x)$ satisface $xR(x)=x^{-1}R(x^{-1})$ fib $A(x):=xR(x)$ satisface $A(x)=A(x^{-1})$.

El mapa de $\overline{p(x)}=x^{-\deg p}p(x^{-1})$ satisface las tres propiedades siguientes:

$$\overline{\overline{p(x)}}=p(x)\quad{\rm and}\quad \overline{p(x)q(x)}=\overline{p(x)}\,\,\overline{q(x)} \quad{\rm and}\quad \overline{\lambda}=\lambda.$$

Supongamos que $\overline{\wp}=\lambda\wp$ para algunos escalares $\lambda$. A continuación,$\wp=\overline{\overline{\wp}}=\overline{\lambda\wp}=\lambda\overline{\wp}=\lambda^2\wp$, lo $\lambda=\pm1$. Supongamos que tenemos una función racional $A(x)\in F(x)$ invariantes bajo $x\leftrightarrow x^{-1}$. Como $F[x]$ es un UFD, $A$ factores como

$$\begin{array}{ll} A(x) & =x^n\left[\prod_\pi \pi(x)^{e(\pi)}\left(x^{\deg \pi}\pi(x^{-1})\right)^{\ell(\pi)}\right]\prod_\wp \wp(x)^{h(\wp)} \\ & = x^{-n}\left[\prod_\pi \pi(x^{-1})^{e(\pi)}\left(x^{-\deg \pi}\pi(x)\right)^{\ell(\pi)}\right]\prod_\wp \wp(x^{-1})^{h(\wp)} \\ & = \pm\, x^{\large\left(-n-\sum\limits_\pi [e(\pi)+\ell(\pi)]\deg \pi-\sum\limits_\wp h(\wp)\deg\wp\right)}\left[\prod_\pi \pi(x)^{\ell(x)}\left(x^{\deg \pi}\pi(x^{-1})\right)^{e(\pi)}\right]\prod_\wp \wp(x)^{h(\wp)}\end{array}$$

$$\begin{array}{ll} \iff & e(\pi)=\ell(\pi),\quad n=-\sum_\pi e(\pi)\deg\pi-\frac{1}{2}\sum_\wp h(\wp)\deg\wp,\quad \prod_\wp(\underbrace{\wp^{-1}\overline{\wp}}_{\pm1})^{h(\wp)}=1 \\ \iff & A(x)=\left[\prod_\pi \left(\pi(x)\pi(x^{-1})\right)^{e(\pi)}\right]\prod_\wp \left(x^{-(\deg\wp)/2}\wp(x)\right)^{h(\wp)}\end{array}$$

hasta el reescalado. Aquí hemos agrupado los términos, para que el $\pi,\overline{\pi},\wp$ agotar todos los irreducibles (a escala) de cada uno exactamente una vez, y $\wp$ cubre todos los irreducibles con $\overline{\wp}=\pm\wp$. Claramente el $\wp$ y sus exponentes $h(\wp)$ debe ser elegido de tal manera que $\prod_\wp(\wp^{-1}\overline{\wp})^{h(\wp)}=1$ $\sum_\wp h(\wp)\deg\wp$ es incluso.

Ahora vamos a limitar nuestro enfoque de abajo a $F={\bf R}$. El irreducibles son todos lineales o cuadráticas. Uno comprueba rápidamente que la única irreducibles con $\overline{\wp}=\wp$ $x^2+ax+1$ $a\in(-2,2)$ o $x+1$, y el único irreductible con $\overline{\wp}=-\wp$$x-1$, hasta un máximo de escala. Por lo tanto todos los $A$ son de la forma

$$\lambda\times\left[\prod_{i=1}^n(x^2+a_ix+b_i)^{e_i}(x^{-2}+a_ix^{-1}+b_i)^{e_i}\right]\times\left[\prod_{j=1}^m(x+c_j)^{f_j}(x^{-1}+c_j)^{f_j}\right]$$

$$\times\left[\prod_{k=1}^r(x+u_k+x^{-1})^{g_k}\right]\times(x+1)^s(x-1)^tx^{-(s+t)/2}$$

con $a_i^2-b_i<0$ $b_i\ne1$ por cada $i$, $c_j\ne\pm1$ para cada $j$, $|u_k|<2$ para cada una de las $k$, e $s+t$ incluso.

Tenga en cuenta que $x(x+1)^{-2}$ es no un ejemplo de una $R$ satisfacción $xR(x)=x^{-1}R(x^{-1})$, pero es fácilmente seleccionable que los otros tres ejemplos se derivan de la forma final arriba.

(Hemos trabajado en su totalidad con elementos de un resumen algebraicas estructura, eludiendo la necesidad de prestar atención a los dominios de las funciones racionales.)

Answer 2

Un par de observaciones:

Como señaló otro de los carteles, si $R(1/x)/x^2 = R(x)$ $f(x) := xR(x)$ satisface $f(1/x) = f(x)$. Todas las soluciones de la forma $R(x) = (1/x)f(x)$ tal $f$.

Si $f(x)=f(1/x)$ todos los $x$$f(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(1/x)$). Por el contrario, si $h(x)$ es una función racional, a continuación, $f(x) := h(x) + h(1/x)$ tiene la propiedad de que $f(x) = f(1/x)$.

Por lo tanto, todas las soluciones son de la forma $$R(x) = \frac{1}{x} (h(x) + h(1/x))$$ para algunos la función racional $h$. Más interesante aún, usted puede generar soluciones mediante la definición de $$R(x) = \frac{1}{x} g(h(x) + h(1/x))$$ para cualquier racional functiond $g$$h$. Por ejemplo, $$R(x) = \frac{1}{x}\frac{1}{1 + x + 1/x}$$ está en su lista, con $h(x) = x$$g(x) = 1/(1+x)$. Esto les da una respuesta a su pregunta, pero anon le da un aspecto menos evidente clasificación de todas las soluciones posibles en la respuesta anterior.

Por último, observe que el conjunto de todos los $f$ satisfacción $f(x) = f(1/x)$ formas un subcampo de la $\mathbb{R}(x)$. En otras palabras, usted puede combinar cualquiera de las dos $f$ por multiplicación, división, suma, resta y multiplicación escalar, y usted conseguirá otro $f$, y otra posible elección de $R$. Probablemente hay un orden de handwavy descripción de lo que este campo es, en términos de esquemas, pero no sé lo suficiente de geometría algebraica a decir.

Answer 3

He estado pensando acerca de su problema de nuevo y se acercó con una alternativa de caracterización.

Observe que en cada uno de tus ejemplos, el numerador y el denominador tienen coeficientes que leer el mismo hacia atrás como lo hacen hacia delante. Por ejemplo,

$$\frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+2x+x^2}$$

y los coeficientes en el denominador se $(1,2,1)$; un palíndromo. Llamar a un polinomio $p(x)$ un palíndromo de índice $k$ si

$$p(x) = x^k p(1/x)$$

Por ejemplo, $p(x) = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x$ es un palíndromo de índice $5$. Entonces me afirmación de que todas las funciones racionales $r(x)$ que satisfacer $r(1/x)=r(x)$ tienen la forma $$r(x) = p(x)/q(x)$$ donde $p$ $q$ son palíndromos del mismo índice. De ello se sigue que sus funciones son, precisamente, los de la forma $p(x)/q(x)$ donde $p(x)$ es un palíndromo de índice $k$ $q(x)$ es un palíndromo de índice $k+2$, para algunas de las $k$. Por ejemplo, $1/(1+2x+x^2)$ es un palíndromo de índice $0$ dividido por un palíndromo de índice $2$.

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Para demostrar que el reclamo, supongamos que $r(x) = p(x)/q(x)$ satisface $r(1/x)= r(x)$ y trabajo a lo largo de $\mathbb{C}(x)$, de modo que $p(x)$ $q(x)$ que se puede suponer que no tienen en común lineal de factores. Elija $k$ a ser el más pequeño posible de energía, de modo que $x^k p(1/x)$ $x^k q(1/x)$ son ambos polinomios. Deje $P(x) = x^kp(1/x)$$Q(x) = x^kq(1/x)$. Entonces $$r(x) = p(x)/q(x) = P(x)/Q(x).$$ Los polinomios $P$ $Q$ no tienen ningún factor común, ya que si $P(a) = Q(a) = 0$$a^kp(1/a) = a^k q(1/a) = 0$. Pero, a continuación, cualquiera de las $a=0$, en cuyo caso $P$ $Q$ tienen un factor común de $x$, lo que se contradice con que $k$ es tan pequeño como sea posible, o de lo $p(1/a)=q(1/a)=0$, lo que se contradice con que $p$ $q$ no tienen ningún factor común.

Luego de $p(x)Q(x) = q(x)P(x)$, mediante la factorización en factores lineales de ello se sigue que $p(x) = c_1P(x)$ $q(x) = c_2Q(x)$ para algunas constantes $c_1$$c_2$. Pero, a continuación,$c_1/c_2=1$, por lo que $p(x) = cP(x)$, $q(x)=cQ(x)$. Pero al poner $x=1$, se deduce que el $(c-1)p(1) = (c-1)q(1) = 0$. Desde $p(1)$ $q(1)$ no puede ser cero, se sigue que $c=1$ y, por tanto, $p(x) = P(x) = x^kp(1/x)$ $q(x) = Q(x) = x^kq(1/x)$ son palíndromos de índice $k$, como se reivindica.

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Ahora usted puede escribir todas las funciones de la satisfacción de $(1)$ por sólo escribir palíndromos, por ejemplo

$$R(x) = \frac{x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x}{2x^7 - x^4 - x^3 +2}$$

satisface $R(1/x) = x^2R(x)$ y usted puede conseguir todos ellos de esta manera.

Answer 4

Deje que nosotros, en primer lugar, buscar soluciones para $x>0$, y la esperanza que se extienden a las quería soluciones. En ese caso podemos sustituir el $x=e^t$, y la ecuación se convierte en $$e^{-2t}R(e^{-t})=R(e^t),$$ o $$e^{-t} R(e^{-t})=e^t R(e^t).$$ Vemos que $e^t R(e^t)$ es aún, y por lo tanto tiene la forma $$e^t R(e^t)=\varphi(|t|),$$ En términos de $x$ encontramos $$R(x)=\frac{1}{x} \varphi(|\log x|)$$

Usted debe buscar para las funciones de $\varphi$ tal que el resultado de la $R(x)$ es racional para $x>0$, y la extendió para $x \in \mathbb R \setminus \{ 0 \}$.

Answer 5

Si $\frac{1}{x^2} R\left( \frac{1}{x} \right) = R(x)$, $x^2 R(x) = R(1/x)$.

Si $R(x) = A(x)/B(x)$, donde $A$ $B$ son relativamente primos polinomios de los respectivos grados $n$$m$, $A(1/x)=a(x)/x^n$ y $B(1/x) = b(x)/x^m$, donde $a(x)$ $b(x)$ son los recíprocos de los polinomios de $A$ $B$ , respectivamente.

Entonces

$\begin{align} x^2 A(x)/B(x) &= A(1/x)/B(1/x)\\ &= (a(x)/x^n)/(b(x)/x^m)\\ &= (a(x)/b(x))x^{m-n}\\ \end{align}$

así $x^{2+n} A(x)b(x)=a(x)B(x)x^m$.

Si los grados de $a(x)$ y $b(x)$ son los mismos como $A$ $B$ (es decir, los términos constantes de $A$ $B$ son no-cero), el lado izquierdo tiene un grado $2+2n+m$ y el lado derecho tiene un grado $n+2m$, así $2+2n+m=2m+n$, o $m = n+2$. En este caso, $A(x)b(x)=a(x)B(x)$. Si, además, $A(x) = a(x) = 1$, por lo $n=0$$m=2$, $B(x) = b(x)$, por lo $B$ es simétrica polinomio de grado $2$.

Por el contrario, si $R(x) = 1/B(x)$ donde $B$ es una ecuación cuadrática simétrica polinomio, $R(1/x) = 1/B(1/x) = 1/(B(x)/x^2) =x^2/B(x) = x^2R(x)$.

Voy a dejar al este, por ahora, y, posiblemente, el trabajo más tarde en los casos en que $a$ $b$ no son el mismo grado como $A$ $B$.