Mostrando que un conjunto de niveles no es un submanifold

Question

¿Hay algún criterio para demostrar que un conjunto de niveles de algún mapa no es un submanifold (incrustado)? En particular, un ejercicio en el libro de colectores lisos de Lee pide mostrar que los conjuntos definidos por $x^3 - y^2 = 0$ y $x^2 - y^2 = 0$ no son submanifolds incrustados.

En general, ¿es posible que un conjunto de niveles de un mapa que no tiene un rango constante en el conjunto siga definiendo un submanifold incrustado?

Answer 1

Es ciertamente posible que un conjunto de niveles de un mapa que no tenga un rango constante en el conjunto siga siendo un submanifold incrustado. Por ejemplo, el conjunto definido por $x^3 - y^3 = 0$ es una curva incrustada (es la misma que la línea $y=x$ ), a pesar de que $F(x,y) = x^3 - y^3$ tiene un punto crítico en $(0,0)$ .

El conjunto definido por $x^2 - y^2 = 0$ no es un submanifold incrustado, porque es la unión de las líneas $y=x$ y $y=-x$ y por lo tanto no es localmente euclidiano en su origen. Para probar que ningún vecindario del origen es homeomórfico a un intervalo abierto, observe que cualquier intervalo abierto se divide en exactamente dos componentes conectados cuando un punto es removido, pero cualquier vecindario del origen en el conjunto $x^2 - y^2$ tiene al menos cuatro componentes después del punto $(0,0)$ es removido.

El conjunto $x^3-y^2 = 0$ es un submanifold topológico incrustado, pero no es un submanifold liso, ya que la incrustación no es una inmersión. Hay muchas maneras de probar que este conjunto no es un submanifold liso incrustado, pero una posibilidad es observar que cualquier curva lisa incrustada en $\mathbb {R}^2$ debe ser localmente de la forma $y = f(x)$ o $x = f(y)$ donde $f$ es una función diferenciable. (Esto se desprende de la caracterización local de los submúltiples submúltiples lisos incrustados como conjuntos de niveles de sumersión, junto con el Teorema de la Función Implícita). La curva dada no tiene esta forma, por lo que no puede ser un submanifold liso incrustado.

Answer 2

El conjunto dado por $(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=0$ es un submanifold incrustado en $\mathbb R^2$ pero tiene componentes de diferente dimensión, así que supongo que el mapa no tiene un rango constante en el conjunto, pero no lo he comprobado.