¿Por qué una serie temporal tiene que ser estacionaria?

Question

Entiendo que una serie temporal estacionaria es aquella cuya media y varianza es constante en el tiempo. ¿Puede alguien explicar por qué tenemos que asegurarnos de que nuestro conjunto de datos es estacionario antes de poder ejecutar diferentes modelos ARIMA o ARM en él? ¿Se aplica esto también a los modelos de regresión normal en los que la autocorrelación y/o el tiempo no son un factor?

Answer 1

La estacionariedad es un tipo de estructura de dependencia.

Supongamos que tenemos un dato $X_1,...,X_n$ . El supuesto más básico es que $X_i$ son independientes, es decir, tenemos una muestra. La independencia es una buena propiedad, ya que utilizándola podemos obtener muchos resultados útiles. El problema es que a veces (o frecuentemente, según el punto de vista) esta propiedad no se cumple.

Ahora bien, la independencia es una propiedad única, dos variables aleatorias pueden ser independientes sólo de una manera, pero pueden ser dependientes de varias maneras. Así que la estacionariedad es una forma de modelar la estructura de dependencia. Resulta que muchos de los buenos resultados que se aplican a las variables aleatorias independientes (ley de los grandes números, teorema del límite central, por nombrar algunos) se aplican a las variables aleatorias estacionarias (deberíamos decir estrictamente secuencias). Y, por supuesto, resulta que muchos datos pueden considerarse estacionarios, por lo que el concepto de estacionariedad es muy importante para modelar datos no independientes.

Cuando hemos determinado que tenemos estacionariedad, naturalmente queremos modelarla. Aquí es donde ARMA( A uto R egresivo M oving A verage) vienen los modelos. Resulta que cualquier dato estacionario puede aproximarse con modelo ARMA estacionario, gracias a Teorema de descomposición de Wold . Por eso los modelos ARMA son muy populares y por eso tenemos que asegurarnos de que la serie es estacionaria para utilizar estos modelos.

También en este caso ocurre lo mismo que con la independencia y la dependencia. La estacionariedad se define de forma única, es decir, los datos son estacionarios o no, por lo que sólo hay una forma de que los datos sean estacionarios, pero muchas formas de que no lo sean. De nuevo, resulta que muchos datos se convierten en estacionarios después de cierta transformación. ARIMA( A uto R egresivo I ntegrada M oving A verage) es un modelo de no estacionariedad. Supone que los datos se vuelven estacionarios después de la diferenciación.

En el contexto de la regresión, la estacionariedad es importante, ya que los mismos resultados que se aplican a los datos independientes son válidos si los datos son estacionarios.

Answer 2

¿Qué cantidades nos suelen interesar cuando realizamos un análisis estadístico de una serie temporal? Queremos saber

• Su valor esperado,
• Su varianza, y
• La correlación entre los valores $s$ periodos separados para un conjunto de $s$ valores.

¿Cómo calculamos estas cosas? Utilizando una media a través de muchos períodos de tiempo.

La media a lo largo de muchos periodos de tiempo sólo es informativa si el valor esperado es el mismo a lo largo de esos periodos de tiempo. Si estos parámetros de la población pueden variar, ¿qué estamos estimando realmente al tomar una media a lo largo del tiempo?

La estacionariedad (débil) requiere que estas cantidades de la población sean las mismas a lo largo del tiempo, lo que hace que la media de la muestra sea una forma razonable de estimarlas.

Además, los procesos estacionarios evitan el problema de regresión espuria .

Answer 3

Dado que ARIMA realiza una regresión sobre sí mismo en su mayor parte, utiliza un tipo de regresión múltiple autoinducida que se vería innecesariamente influida por una tendencia fuerte o por la estacionalidad. Esta técnica de regresión múltiple se basa en los valores anteriores de las series temporales, especialmente los de los últimos períodos, y permite extraer una "interrelación" muy interesante entre múltiples valores pasados que sirven para explicar un valor futuro.

Answer 4

Las series temporales consisten en analizar el modo en que los valores de una serie dependen de los valores anteriores. Como ha sugerido SRKX, se puede diferenciar o eliminar la tendencia o la media de una serie no estacionaria (¡pero no innecesariamente!) para crear una serie estacionaria. El análisis ARMA requiere estacionariedad. $X$ es estrictamente estacionaria si la distribución de $(X_{t+1},\ldots,X_{t+k})$ es idéntica a la de $(X_1,\ldots,X_k)$ para cada $t$ y $k$ . De Wiki: un proceso estacionario (o proceso estrictamente estacionario o proceso fuertemente estacionario) es un proceso estocástico cuya distribución de probabilidad conjunta no cambia cuando se desplaza en el tiempo o en el espacio. En consecuencia, parámetros como la media y la varianza, si existen, tampoco cambian con el tiempo o la posición. Además, como ha señalado correctamente Cardinal, la función de autocorrelación debe ser invariante en el tiempo (lo que significa que la función de covarianza es constante en el tiempo), lo que se traduce en que los parámetros del modelo ARMA son invariantes/constantes para todos los intervalos de tiempo.

La idea de estacionariedad del modelo ARMA está estrechamente ligada a la idea de invertibilidad.

Consideremos un modelo de la forma $y(t)=1.1 \,y(t-1)$ . Este modelo es explosivo como el polinomio $(1-1.1 B)$ tiene raíces dentro del círculo unitario y por lo tanto viola un requisito. Un modelo que tiene raíces dentro del círculo unitario significa que los "datos más antiguos" son más importantes que los "datos más nuevos", lo que, por supuesto, no tiene sentido.

Answer 5

En mi opinión, el proceso estocástico es el proceso que se rige por tres propiedades estadísticas que deben ser invariables en el tiempo, que son la varianza media y la función de autocorrelación, aunque las dos primeras no dicen nada acerca de la evolución del proceso en el tiempo, por lo que la tercera propiedad, que es la función de autocorrelación, debe ser considerada, la cual indica cómo la dependencia decae a medida que avanza el tiempo (lag).