$\kappa$-c.c. vs $\kappa$-Knaster

Question

Para un infinito cardenal $\kappa$ y un orden parcial $\mathbb{P}$, podemos decir:

(a) $\mathbb{P}$ $\kappa$ cadena de condición ($\kappa$-c.c.) el fib no es subconjunto de a $\mathbb{P}$ del tamaño de la $\kappa$ consiste de pares de elementos incompatibles.

(b) $\mathbb{P}$ $\kappa$- Knaster propiedad iff para cada $A \subseteq \mathbb{P}$ del tamaño de la $\kappa$ hay $B \subseteq A$ del tamaño de la $\kappa$ consiste de pares compatible elementos.

Claramente $\kappa$-Knaster implica $\kappa$-c.c. También, es trivial que el $\kappa$-c.c. implica la $\delta$-c.c. para cada $\delta \geq \kappa$.

Pregunta 1: Si $\mathbb{P}$ $\kappa$- Knaster, es $\delta$-Knaster para cada $\delta \geq \kappa$?

Pregunta 2: Si $\mathbb{P}$ $\kappa$- c.c., es necesariamente $\kappa^+$-Knaster?

Answer 1

Una respuesta a la Pregunta 1 (Gracias a hot_queen por la sugerencia):

Considerar el orden parcial $Fn(\aleph_\omega,2)$ finito de funciones parciales de $\aleph_\omega$ 2, ordenado por el subconjunto. Aquí es un gran subconjunto de $Fn(\aleph_\omega,2)$ sin un gran pares-compatible subconjunto:

Para cada una de las $\alpha \in [\aleph_0, \aleph_\omega)$, vamos a $p_\alpha$ ser una función con dominio de $[0,n] \cup \{ \alpha \}$ donde $n$ es tal que $\alpha \in [\aleph_n,\aleph_{n+1})$. Para $\alpha \in [\aleph_n,\aleph_{n+1})$, vamos a $p_\alpha(k) = 0$ $k<n$, $p_\alpha(n) = 1$, y $p_\alpha(\alpha)=0$. No hay ningún subconjunto de tamaño $\aleph_\omega$ de pares compatible elementos, porque si $\alpha < \beta$ son de diferentes cardinalidades, a continuación, la parte inferior de sus partes están de acuerdo, y debemos tener tal $\alpha, \beta$ cualquier $\aleph_\omega$-tamaño de subgrupo.

Answer 2

Respuesta parcial: Claramente, si $\mathbb P$ $\kappa$- c.c. y $\delta\to(\kappa,\delta)^2$, $ \mathbb P$ $\delta$- Knaster. Por lo tanto GCH respuestas a la Pregunta 2 en la afirmativa para cada sucesor, el cardenal $\kappa$, debido a la clásica teorema: "si $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}$,$\aleph_{n+2}\to(\aleph_{n+1},\aleph_{n+2})^2$."

Referencias:

P. Erdős, Algunos teóricos de las propiedades de los gráficos, Revista de la Universidad Nacional de Tucumán, Serie 3 (1942), 363-367.

P. Erdős y R. Rado, Un problema en conjuntos ordenados, J. Londres Matemáticas. Soc. 28 (1953), 426-438; véase p. 437.

P. Erdős y R. Rado, Una partición de cálculo en la teoría de conjuntos, Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 62 (1956), 427-489; véase el Teorema 4(iii) en la p. 431, Teorema 7(i) en la p. 432, Corolario 1 de la página. 459.

Péter Komjáth y Vilmos Totik, Problemas y Teoremas Clásicos de la Teoría de conjuntos, Springer, 2006; véase Problema 24.20 en la p. 103, de la solución en las páginas 412-413.