Tenga en cuenta que
una unión de un número finito de 2 esferas, dos de los cuales se cruzan en más de un punto
no es lo mismo que
un espacio de $X$ como finito distinto de la unión de espacios homeomórficos a $S^2$ donde podemos identificar al menos un punto de cada par,
la unión Hatcher habla de la necesidad de no surgir como un cociente de un discontinuo de la unión (topológica de la suma).
Como un conjunto, vamos a $X$ ser la unión de los cuatro esferas de radio $1$ con centros en a$(\pm 1, \pm1, 0)$$\mathbb{R}^3$. En cada uno de los cuatro puntos de $(1,0,0),\, (-1,0,0),\, (0,1,0),\, (0,-1,0)$ dos de las esferas se cruzan. Ahora dotar a ese espacio con un grueso de la topología de la topología de subespacio, que no es Hausdorff, pero, sin embargo, induce el estándar de la topología en cada uno de los ámbitos.
Para un punto de $x$ que no es un punto de intersección de dos vecinos esferas, vamos a los barrios de $x$ ser las intersecciones de un barrio de $x$$\mathbb{R}^3$$X$, un barrio de base es entonces
$$\mathscr{N}(x) = \left\lbrace B_{\varepsilon}(x) \cap X : \varepsilon > 0 \right\rbrace.$$
Para un punto de intersección $p$, vamos a un barrio de base de $p$ ser
$$\mathscr{N}(p) = \left\lbrace \bigl(B_\varepsilon(p) \cup B_{\varepsilon'}(-p)\bigr) \cap X : \varepsilon > 0, \varepsilon' > 0\right\rbrace.$$
Compruebe que no hay una única topología en $X$ de manera tal que los anteriores son de vecindad bases para los puntos respectivos, y que la topología no es Hausdorff (cada vecindad de un punto de intersección $p$ cumple con todos los barrios de $-p$).
Sin embargo, $X$ es la unión de un número finito (cuatro) dos esferas (subespacios homeomórficos a $S^2$), dos de los cuales se intersecan en un punto.
Así que no es redundante para exigir $X$ a ser Hausdorff.
