Minimizar el Área

Question

En la esquina inferior de una página es doblado para alcanzar el contrario borde interior. Tenemos que encontrar el ancho de la parte plegada si el Área de la parte plegada es mínimo.

Ahora como yo:

Deje que el ancho de la página se $1$. Vamos a la parte plegada ser $x$. Y el ángulo de la parte doblada ser $\theta$.

Ahora he encontrado una relación entre el$x$$\theta$, por lo que escribió el área en su totalidad como una función de tan($\theta$) y minimizado.

Lo que quiero saber es de otras maneras diferentes de hacer esto.

He aquí un boceto :

En caso de que alguien quiere comprobar sus respuestas, la anchura x viene a ser 2/3.

Answer 1

Sugiero trabajar con $\theta':={\pi\over2}-\theta$ en su lugar, y poner $\tan\theta'=:\tau$. Usted entonces tiene $${1-x\over x}=\cos(\pi-2\theta)=\cos(2\theta')={1-\tau^2\over 1+\tau^2}$$ y, por tanto,${\displaystyle x={1+\tau^2\over2}}$. El área en cuestión, viene a $$A={1\over2}x\cdot{x\over\tau}={(1+\tau^2)^2\over 8\tau}\ .$$ Resulta que $A$ es mínima cuando se $\tau^2={1\over3}$ o $\theta'=30^\circ$, por lo que el $x={2\over3}$.

La sencillez del resultado abre la posibilidad de que puede ser obtenido también el uso de algunos geométrico razonamiento.