Mínimo de $| \sin x- 1| + |\sin x- 2| + | \sin x -3| + | \sin x+1|$

Question

Me gustaría saber el valor mínimo de $$| \sin x- 1| + |\sin x- 2| + | \sin x -3| + | \sin x+1|$$ para $x \in \mathbb{R}$.

Answer 1

Como $-1\leq\sin x\leq1\implies |\sin x-1|=1-\sin x$, $|\sin x-2|=2-\sin x$, $|\sin x-3|=3-\sin x$, $|\sin x+1|=1+\sin x$

Por lo tanto la expresión dada se convierte en, $1-\sin x+2-\sin x+3-\sin x+1+\sin x=7-2\sin x$ que es mínima cuando el $\sin x $ es máxima e igual a $1$, lo que le da valor mínimo igual a $5.$

Answer 2

El número de $\sin x$ está tratando de decidir dónde vivir en el número de línea.

Sus amigos viven en $-1$, $1$, $2$, y $3$.

Ella quiere que la suma de sus distancias a sus amigos para ser tan pequeña como sea posible.

Donde debe $\sin x$ vivo? Desafortunadamente, ella tiene que vivir entre $-1$$1$. Ella comienza a $-1$ y comienza a viajar a la derecha. Para cada pequeño paso que toma, su distancia de $-1$ aumenta por $1$ paso, y la suma de sus distancias desde $1$, $2$, y $3$ disminuye por $3$ pasos, para una disminución neta de $2$ pasos.

Así que ella debe ir a la derecha hasta que su naturaleza lo permita. Espero que $1$ no cuenta cuando se $\sin x$ se mueve en.

Answer 3

$\sin x-1$ siempre es no positivo.

$\sin x - 2$ es siempre negativo.

$\sin x -3$ es siempre negativo.

$\sin x + 1$ es siempre no negativo.

Por lo tanto, toda la expresión se reduce a $$ -(\sin x-1) -(\sin x-2) -(\sin x-3) + (\sin x+1). $$

(Pero si usted significaba $\sin(x-1)$ donde escribió $\sin x-1$, entonces ninguno de los anteriores le ayudará a usted.)

Consigue $7-2\sin x$. Desde el seno oscila entre el$1$$-1$, el más pequeño de esta función nunca se es $7-2=5$.

Answer 4

Aquí está el gráfico, lo que debería hacer por usted:

(Aquí, aprovecho $|\sin x-1|$, etc. a decir $|\sin(x)-1|$, etc.)

Parece que el valor mínimo es de 5, y Mathematica confirma esto: