Al $x$ es un número real y $x>1$, ¿por qué es $x^x>(x+1)^{x-1}$?

Question

Al $x$ es un número real y $x>1$, ¿por qué es el verdadero?

$x^x>(x+1)^{x-1}$

Traté de encontrar el mínimo de $x^x-(x+1)^{x-1}$ con mi limitada cálculo conocimiento, pero poco apareció fuera de mi rango.

Es bueno cuando puedo entender una buena respuesta, pero yo todavía estaría feliz de regresar años más tarde, cuando yo soy el mejor en matemáticas, así que por favor no dude en compartir sus conocimientos.

Answer 1

Mediante la aplicación de la ponderación de la AM-GM a los distintos números positivos $x+1$ $1$ pesos $1-\tfrac1x$$\tfrac1x$, $$ (x+1)^{1-\frac1x}\cdot 1^{\frac1x} < \big(1-\tfrac1x\big)\cdot (x+1) + \tfrac1x\cdot 1 = x. $$ Tomando $x$th poderes, $$ (x+1)^{x-1} < x^x. $$

Answer 2

Observar que si tenemos en cuenta $f(x)=x^x-(x+1)^{x-1}=e^{x\ln x}-e^{(x-1)\ln (x+1)}$

A continuación,$f'(x)>0$$f(1)=0$.

Así que podemos concluir que el $f(x)>0$.

Espero que esto ayude.

Answer 3

el uso que la desigualdad es equivalente a $x+1>\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$

Answer 4

La versión generalizada de la Desigualdad de Bernoulli dice que para $y\gt x\gt0$ $$ \begin{align} 1+y &=1+\tfrac yxx\\ &\lt(1+x)^{\frac yx} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ (1+y)^{\frac1y}\lt(1+x)^{\frac1x} $$ Que es $(1+x)^{\frac1x}$ es estrictamente una función decreciente. Por lo tanto, para $x\gt1$, $$ (1+x)^{\frac1x}\lt(1+(x-1))^{\frac1{x-1}} $$ y $$ (1+x)^{x-1}\lt x^x $$

Answer 5

Deje $x>1$. El uso de las desigualdades $$1-\frac1x < \log(x) < x-1.$$ Then $$\log(x+1)=\log(x)+\log(1+\frac1x)<\log(x)+\frac1x.$$ Now multiply by the positive number $x-1$: $$(x-1)\log(x+1)<x \log(x) + 1-\frac1x - \log(x) < x \log(x).$$