espacios métricos cotizados para dummies

Question

Esperaba que alguien pudiera explicarme la definición de espacios métricos cotizados

He sacado la siguiente definición de la wikipedia:

Si $M$ es un espacio métrico con métrica $d$ y $\sim$ es una relación de equivalencia en $M$ entonces podemos dotar al conjunto cociente $M/{\sim}$ con la siguiente (pseudo)métrica. Dadas dos clases de equivalencia $[x]$ y $[y]$ definimos $$ d([x],[y]) = \inf\{d(p_1,q_1)+d(p_2,q_2)+\dotsb+d(p_{n},q_{n})\} $$ donde el mínimo se toma sobre todas las secuencias finitas $(p_1, p_2,\dots, p_n)$ y $(q_1, q_2,\dots, q_n)$ con $[p_1]=[x], [q_n]=[y],[q_i]=[p_{i+1}], i=1,2,\dots, n-1$ .

De otro discusión en esta página web entiendo que utilizamos esta definición, en lugar de simplemente el mínimo sobre d(p,q) para todas las combinaciones posibles para p y q, para garantizar la desigualdad del triángulo. Pero no me queda del todo claro cómo interpretar (geométricamente) esta definición y cómo calcular realmente las distancias con ella.

He intentado trabajar con el siguiente ejemplo:

$X = \{ -1,1,-2,2,1.1,2.1\}$ con $d(x,y)=|x-y|$ y $\sim\, = \{\{1,-1\},\{2,-2\},\{1.1,2.1\}\}$

y calcular la distancia entre -1 y 1 y también la distancia entre -1 y 1,1.

¿Podría alguien ser tan amable de explicarme paso a paso cómo utilizar la definición y calcular las distancias para estos dos ejemplos?

Gracias.

Gijs Dubbelman

Answer 1

Esta es una de mis definiciones favoritas. Puedes pensar en las clases de equivalencia como redes de teletransportadores. Puedes entrar en cualquier teletransportador de una red determinada (clase de equivalencia) y saltar a cualquier otro teletransportador de la misma red (clase de equivalencia), y no te cuesta tiempo/distancia. Lo único que tienes que pagar es la distancia que recorres a pie. El ínfimo se toma sobre todas las secuencias posibles de teletransportes. De este modo, los puntos de una misma clase de equivalencia se convierten en un único punto, y puedes elegir libremente en cuál de sus encarnaciones entrar y en cuál salir.

Tus ejemplos son fundamentalmente defectuosos en el sentido de que estás pidiendo la distancia entre puntos de $X$ pero no son puntos de $X/\sim$ por lo que no se puede calcular su distancia en la métrica del cociente $d_\sim$ . Puede preguntar cuál es la distancia de $[-1]$ a $[1]$ es, y la respuesta es $0$ ya que son los mismos puntos (clases de equivalencia) de $X/\sim$ . Para la segunda, puede pedir la distancia desde $[-1]$ a $[1.1]$ . Para encontrarlo, entra en el teletransportador de $-1$ , salta a $1$ de forma gratuita, y caminar hasta $1.1$ a pie, para una distancia total $d_\sim([-1],[1.1])=d_\sim([1],[1.1])=d(1,1.1)=0.1$ .