Mi prueba de la divergencia de $(-1)^n$

Question

Debo acortar mi prueba? (También, debo intentar probar sin contradicción?)

Consideramos que la secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, donde $x_n = (-1)^n$.

$\textbf{Lemma.}$ Para cada elemento $x_n$ de la secuencia de $(x_n)$, tenemos $|x_n| = 1$. (Podríamos probar esto por inducción en $n$.)

$\textbf{Theorem.}$ $(x_n)$ diverge.

$\textit{Proof.}$ Podemos demostrar el teorema de la contradicción. Para ese fin, suponemos que $(x_n)$ no es divergente, es decir, suponemos que es convergente. Con eso dicho, hemos terminado tan pronto como una contradicción que se deduce. Por supuesto, hay un $x \in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} \forall \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 : \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N}, n > N : |x_n - x| < \varepsilon . \end{ecuación*} Elegimos $\varepsilon = 1$. Por supuesto, hay un $N \in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N}, n > N : |x_n - x| < 1 . \end{ecuación*} Elegimos $n = N + 1$. Por lo tanto,$|x_n - x| < 1$$|x_{n + 1} - x| < 1$. Por lo tanto, \begin{equation*} |x_{n + 1} - x| + |x_n - x| < 2 . \end{ecuación*} Por otra parte, \begin{equation*} \begin{split} 2 & = |2| \\ & = |2| \cdot 1 \\ & = |2| \cdot |x_{n + 1}| && | \text{ by Lemma} \\ & = |2 x_{n + 1}| && | \text{ by multiplicativeness of abs. val.} \\ & = |x_{n + 1} + x_{n + 1}| \\ & = |x_{n + 1} + (-1)x_{n}| \\ & = |x_{n + 1} - x_{n}| \\ & = |x_{n + 1} + 0 - x_{n}| \\ & = |x_{n + 1} + (-x + x) - x_{n}| \\ & = |(x_{n + 1} - x) + (x - x_{n})| \\ & \le |x_{n + 1} - x| + |x - x_{n}| && | \text{ by subadditivity of abs. val.} \\ & = |x_{n + 1} - x| + |x_{n} - x| \qquad && | \text{ by evenness of abs. val.} \\ \end{split} \end{ecuación*} Por lo tanto, por transitividad, tenemos $2 < 2$. Obviamente, se deduce una contradicción. QED

Answer 1

Puede utilizar el siguiente teorema: "Si una secuencia converge, entonces cada subsequence converge al mismo límite".

Answer 2

Acorto la prueba.

Elija cualquiera de los $L \in \mathbb{R}$.

Si $L \ge 0$, luego tenemos a $|x_n-L| \ge 1$ para todos los impares $n$. Por lo tanto $x_n$ no converge a $L$.

Si $L < 0$, luego tenemos a $|x_n-L| \ge 1$ para todos incluso a $n$. Por lo tanto $x_n$ no converge a $L$.

Answer 3

La menor prueba de ello sería la de mostrar que la secuencia no es de Cauchy, por lo tanto no convergen. Deje $\epsilon =1$. Supongamos por contradicción el hecho de que la sucesión es de cauchy, por lo tanto, no existe un $N$ tal que para todos los $m\ge N,n\ge N,|a_n-a_m|<1$. Así, tomando los $n=N,m=N+1$,$|(-1)^N-(-1)^{N+1}|<1$, pero esto es falso, ya que este número es en realidad 2 (Desde $N$ $N+1$ han opuesto a la paridad). Por lo tanto, no es de cauchy, por lo tanto no convergen

Answer 4

No sé cuánto sabe usted acerca de las secuencias, pero la más corta de la prueba de la divergencia de esta secuencia es que los dos subsecuencias $x_{2n}$ $x_{2n+1}$ que son constantes por lo tanto convergente no convergen al mismo límite

Answer 5

Creo que hay mejores maneras de demostrarlo.

Proposición: Si $x_n$ converge, entonces la secuencia de las diferencias de $x_{n+1}{-}x_n$ converge a $0$.

La proposición B: Si $x_n$ ha subsecuencias $a_n$, $b_n$ el que convergen diferentes límites, a continuación, $x_n$ no convergen.

Cualquiera de estas dos inmediatamente la prueba y las pruebas no son más duros de lo que usted está tratando de hacer.

Tome por ejemplo la primera: Para todos los $\varepsilon>0$ no $N$ tal que para todo $n\ge N$, $|x_n-L|<\varepsilon/2$, así que para todos los $n\ge N$, $$|x_{n+1}-x_n|=|(x_{n+1}-L)-(x_n-L)|\le |x_{n+1}-L|+|x_n-L|\le\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.$$ Hecho!