¿Una función que satisface ambos $f (x + 1) = f (x) + 1$ y $f(x^2) = f (x) ^ 2$ $ $x real todos se sabe que la identidad sobre $\mathbb Q$, pero es también la identidad sobre $\mathbb R$? ¿Si no, me puede proporcionar un ejemplo de tal función? Gracias.
Respuestas
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si $f(x) < x$ algún $ $x, usted puede suponer $x$ y $ $f(x) ser mayor que 1. Entonces $f(x^{2^n}) < m < x ^ {2 ^ n} $ para algunos m, números enteros y $f (x ^ {2 ^ n}-m) < 0$ ser $ x ^ {2 ^ n}-m > 0$ y eso es una contradicción. Usted puede hacer un argumento similar con la otra desigualdad, el argumento está muy cerca en la respuesta anterior.
Mike
Puntos
1113
Yo estaba a punto de entregar un contra-ejemplo (por ejemplo, $f(\pi)=e$ y, a continuación, asignar los valores en todos los puntos 'de manera algebraica relacionados con el' a $\pi$ de acuerdo al valor de la misma relación algebraica aplicada a $e$) cuando me di cuenta de que esto tiene un claro defecto - por $f$ a estar bien definidos más de $\mathbb{R}$, debe satisfacer $f(x)\gt 0$ para todo $x\gt 0$ (($f(\sqrt{x})$ es mal definida). Sospecho que esto es suficiente para probar que $f$ debe ser la identidad porque se pueden usar los mapas de $x\rightarrow x+1$, $x\rightarrow x^2$ y sus inversas, para asignar cada $x$ en arbitrariamente pequeño barrio de de $0$ y obligado a sus valores (la positividad de la condición de los límites el valor de a continuación y sospecho que a manipulaciones inteligentes te permitirá utilizarlo para acotar el valor de la anterior), obligando a f sea continua en un barrio de de $0$ y por lo tanto (por 'volar' del barrio a $[0,1)$ $f(\sqrt{x}) = \sqrt{f(x)}$ y, a continuación, la traducción de arriba y abajo de la línea) para ser la identidad.
EDIT: shurtados la versión de este argumento hace el truco. Como se señaló, si $f(x) \lt$ x $x\gt 0$, podemos derivar una contradicción, ya que podemos encontrar enteros $m$ y $n$ tal que $f(x^{2^n}) \lt m \lt x^{2^n}$ y por lo tanto encontrar un valor de $y\gt 0$ $f(y)\lt 0$, lo que nos da la contradicción de arriba.
Ahora, podemos terminar con este argumento: supongamos que $f(x)\gt$ x $x\gt 0$; elegir un entero $m$ con $f(x)\lt m$. Nos dan $(x-m)\lt f(x-m) \lt 0$, entonces $0\lt f((x-m)^2) = (f(x-m))^2 \lt (x-m)^2$, y con $ $ y = (x-m)^2$ tenemos $f(y) \lt$ y, dando la necesaria contradicción; ergo, $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.
