Expectativa de orden superior de productos de distribuciones normales

Question

Tengo dos variables normalmente distribuidas $X_1$ $X_2$ con media cero y matriz de covarianza $\Sigma$. Estoy interesado en tratar de calcular el valor de $E[X_1^2 X_2^2]$ en términos de las entradas de $\Sigma$.

He utilizado la ley de total de probabilidad de obtener $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$ pero no estoy seguro de lo que el interior de la expectativa reduce. Hay otro método aquí?

Gracias.

Edit: Las variables son también de una distribución normal multivariante.

Answer 1

La expectativa es claramente proporcional al producto de los cuadrados de los factores de escala $\sigma_{11}\sigma_{22}$. La constante de proporcionalidad se obtiene mediante la estandarización de las variables, lo que reduce el $\Sigma$ a la matriz de correlación con la correlación de $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$.

Suponiendo normalidad bivariada, entonces, de acuerdo con el análisis en http://stats.stackexchange.com/a/71303 podemos cambiar las variables para

$$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$$

donde $(X,Y)$ tiene un estándar (sin correlación) bivariante de la distribución Normal, y sólo necesitamos calcular

$$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$$

donde el valor exacto de la constante de $c$ no importa. ($Y$ es el residual sobre la regresión de $X_2$ contra $X_1$.) El uso de la univariado de las expectativas para la distribución normal estándar

$$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$$

y observando que $X$ $Y$ son independientes de los rendimientos

$$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$$

Multiplicando esto por $\sigma_{11}\sigma_{22}$ da

$$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$$

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El mismo método se aplica para encontrar la expectativa de cualquier polinomio en $(X_1,X_2)$, porque se convierte en un polinomio en $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ y que, cuando se expande, es un polinomio en el independiente de variables normalmente distribuidas $X$$Y$. De

$$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

para la integral de la $k\ge 0$ (con todos los momentos impares es igual a cero por simetría) podemos derivar

$$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$$

(con todos los otros de las expectativas de monomials igual a cero). Este es proporcional a la función hipergeométrica (casi por definición: las manipulaciones no son profundas o instructivo),

$$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$$

La función hipergeométrica veces $\left(1-\rho ^2\right)^q$ es visto como un multiplicativo de corrección para distinto de cero $\rho$.