Dejemos que $\log$ sea la rama del logaritmo que prolonga el logaritmo real habitual, y considere en $D=\Bbb C\smallsetminus [-1,1]$ la función $$f(z)=\log\frac{z+1}{z-1}$$
Tengo que encontrar la integral de $f$ alrededor del círculo $|z|=2$ . Ahora, como ejemplo, considere la integral $$\int_{|z|=2}\frac{e^{z+z^{-1}}}{1-z^2}dz$$
Utilizando el mapeo biholomórfico $B(0,1)^\times\to D$ que envía $z\to \frac 1 2(z+z^{-1})$ Tengo la integral $$\frac 1 2\int_\gamma \frac{e^{2z}}{1-z^2}dz$$
y $\gamma$ es un camino cerrado dentro de $B(0,1)^{\times}$ . Esto significa que la integral desaparece. Estoy tratando de hacer algo similar aquí. Así que si tomo $w=\frac{z+1}{z-1}$ Lo entiendo. $\frac{(w-1)^2}2=\frac{2}{(z-1)^2}$ y $dw=-2dz/(z-1)^2$ Así que, en última instancia, quiero mirar $$-2\int_{\gamma^{-}}\frac{ \log w}{(w-1)^2}dw$$ donde $\gamma$ es un círculo que pasa por $1/3,3,-3/5+4/5 i$ . Usando el computador obtuve que el círculo es $$(x-5/3)^2+(y-5/2)^2=\frac{7225}{900}$$
Añadir La orientación de este círculo está ahora invertida.
Incluso sin esto se ve $1$ es un punto interior, por lo que la integral debe ser igual, por Cauchy, $4\pi i$ (no $-4\pi i$ ). ¿Puede alguien confirmar que esto es correcto, y/o sugerir otro enfoque?
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$\int_{|z|=2}\log\frac{z+1}{z-1}dz=\int_{a=0}^{2\pi}(\log(2e^{ia}+1)-\log(2e^{ia}-1))2ie^{ia}da$ . Mathematica demostró que la integración es igual a $4\pi i$
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@mike Puede ser que la orientación del círculo se invierta y se me haya pasado.
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Sí, @Pedro, la orientación se invierte. Considera en orden los puntos $2,2i,-2$ en $\lvert z\rvert = 2$ . Se asignan a $$3,\;\frac{1+2i}{-1+2i} = -\frac{(1+2i)^2}{5} = \frac{3-4i}{5},\; \frac{1}{3}$$ en orden, lo que significa $\gamma$ se recorre en el sentido de las agujas del reloj.