En algún lugar de Mumford del GIT, que parece implicar que cualquier algebraicas lineales grupo es racional? Esto parece extraño para mí. Es esto cierto?
Respuestas
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Un (reducido, irreductible) algebraicas lineales grupo a través de una algebraicamente cerrado de campo es racional, es decir, birational para proyectiva del espacio. Este es un resultado no trivial.
Breve bosquejo de la prueba [EDITAR: en la característica de sólo 0; ver el comentario abajo]: el uso de la Levi descomposición a reducir, para el caso de la reductora grupos, a continuación, utilizar la Bruhat la descomposición de la manija de la reductora caso.
Esto no es para geométrica de la integral lineal de los grupos de más de un arbitrario campo de tierra. Por ejemplo, si $k$ es cualquier campo en el que se admite una degenerada [es decir, el grado $4$] biquadratic extensión de $l = k(\sqrt{a},\sqrt{b})$, entonces la norma toro asociados a $l/k$ es una de tres dimensiones no racionales algebraicas toro. Creo que este ejemplo es, en cierto sentido mínimo.
Ver el Springer en Línea de Obras de Referencia para obtener más información, incluyendo referencias.
Chad Cooper
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Pete dio la respuesta general, pero permítanme mencionar un simple algebraicas lineales razón esto no debería sorprender (de nuevo, me deja trabajar a través de una algebraicamente cerrado de campo):
Recordemos que GL_n es casi el producto de un toro y dos subgrupos isomorfo al espacio afín, debido a la descomposición de Gauss: una genérica invertible la matriz es el producto de un único triple que consiste en un triangular superior de la matriz con 1 en la diagonal, una matriz diagonal y una triangular inferior de la matriz. Este es el birational mapa que Pete estaba refiriendo.
leora
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Esto es realmente sólo Pete Clark respuesta-la nueva bits se nota que el Levi de descomposición no es necesario.
Sea G ser un (reducido, conectado) algebraicas lineales grupo a través de una alg. cerrado k, y vamos a R a ser el unipotentes radical de G. Elegir un Borel el grupo B de G con unipotentes radical U < B (por lo que R < U).
Hay una densa B-órbita ("big celular") V en G/B, que es un racional variedad.
Dado que U y R son (split) unipotentes, [Springer, LAG 14.2.6] muestra que hay es una sección de $s:U/R \to U$ a la natural proyección de $U \to U/R$.
Si $f:G \to G/B$ es el cociente de asignación, el uso de $s$ usted puede encontrar un "local la sección" de $f$ sobre el grande de células de V.
Este espectáculo que $f$ es localmente trivial B-paquete (en el Zariski topología) y, en particular, $f^{-1}(V)$ es una subvariedad de G isomorfo a la variedad racional V x B.
