Demostrar que $4$ es la única solución a $2+2$.

Question

Esta pregunta fue presentado en la Mañana del sábado los Cereales para el Desayuno y no he sido capaz de encontrar una prueba. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Al probar los teoremas de las matemáticas, uno comienza a partir de un conjunto de axiomas, las declaraciones que se aceptan como verdaderas sin argumento. Usted podría preguntar, "¿pero qué pasa si un axioma no es cierto?", y la respuesta es que estaríamos tratando con diferentes matemáticas. Por ejemplo, Euclides incluido el postulado paralelo , como un axioma en sus elementos. Durante años los matemáticos trató de probar que el postulado paralelo podría ser derivada a partir de los otros axiomas. Resulta que si usted no acepta el postulado paralelo, se termina con diferentes tipos de geometría que ahora llamamos no-euclidiana. La obra de einstein de la relatividad general depende de estas geometrías.

Para venir para arriba con una prueba de un aparentemente simple hecho de como $2 + 2 = 4$, necesitamos un conjunto de axiomas para empezar, y necesitamos definiciones precisas de los términos que estamos utilizando. Dependiendo de lo que el conjunto de axiomas que empezar, demostrando que $2 + 2 = 4$, y que ningún otro número natural puede ser igual a $2+2$ puede ser muy simple o sorprendentemente difícil. Por ejemplo, en Russell y Whitehead del Principia, que se hizo tuvo más de 300 páginas de trabajo antes de poder demostrar que $1+1=2$. Se comenzó con una muy escasa conjunto de axiomas, aunque.

El caso más común de los axiomas de los números naturales son los Axiomas de Peano.

Son

1. $0$ es un número natural.
2. Para cada número natural $x$, $x=x$.
3. Para todos los números naturales $x$ $y$ si $x = y$,$y = x$.
4. Para todos los números naturales $x$, $y$, y $z$ si $x = y$$y = z$,$x = z$.
5. Para todos los $a$ $b$ si $a$ es un número natural, y $a = b$, $b$ es un número natural.
6. Para cada número natural $n$, $S(n)$ es un número natural.
7. Para cada número natural $n$, $S(n) = 0$ es falso.
8. Para todos los números naturales $m$ $n$ si $S(m) = S(n)$$m = n$.
9. Si $K$ es un conjunto tal que $0 \in K$, y para cada número natural $n$, $n \in K$ implica que $S(n) \in K$, $K$ contiene todos los números naturales.

Aquí $S$ es la función sucesor, toma a cada número natural a su sucesor. Esto podría parecer un desorden complicado en comparación con la sencillez de los números naturales, pero debemos ser precisos. Necesitamos construir cuidadosamente los axiomas de modo que no hay contradicción puede derivar a partir de ellos, y para que encapsular lo que entendemos ser los números naturales. Queremos ser capaces de demostrar interesantes declaraciones acerca de los números naturales a partir de ellos. Tenga en cuenta que los axiomas contienen términos no definidos. Los axiomas no es necesario indicar qué decir, sólo lo que hacen.

Las siguientes definiciones son comúnmente utilizadas dentro de este axiomatization. Son las definiciones de Peano del documento original (Una traducción al inglés está disponible en el libro De Frege a Gödel), modificado para empezar a $0$ en lugar de $1$.

$1$ se define como $S(0)$, $2$ se define como $S(1)$, $3$ se define como $S(2)$, e $4$ se define como $S(3)$. Además se define de forma recursiva de la siguiente manera.

$$a + 0 = a$$ $$a + S(b) = S(a + b)$$.

Así

$$2 + 2 = 2 + S(1) = S(2 + 1) = S(2 + S(0)) = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = S(3) = 4$$

demostrando que $2+2 = 4$.

Este es el único valor de $2+2$ por el axioma 4.

Si $x = 2+2$$2+2 = 4$,$x = 4$.

Answer 2

A partir de los axiomas de Peano.

En primer lugar recordar que el $2$ es en realidad una abreviatura de $S(S(0))$ $4$ es una abreviación de $S(S(S(S(0))))$. Ahora tenemos los axiomas de la suma, $x+0=x$$x+S(y)=S(x+y)$. Calculamos:

$$2+2=S(S(0))+S(S(0))=S(S(S(0))+S(0))=S(S(S(S(0))+0))=S(S(S(S(0)))=4$$

Para probar la unicidad utilizamos los axiomas que $0\neq S(x)$, $x\neq0\rightarrow \exists y(x=S(y))$ y $S(x)=S(y)\rightarrow x=y$:

$$S(S(S(S(0))))=S(S(0))+S(S(0))=x\implies\exists y(x=S(y))\implies S(S(S(0))=y\implies\exists z(S(z)=y)\implies z=S(S(0))=2$$

Por lo tanto, $z=2$ $y=3$ $x=4$ como quería.

Answer 3

La pregunta no tiene sentido; la definición de $2 + 2$ no implica una indeterminado, por lo que no hay "solución" que se tenía, sólo el hecho de que $2 + 2 = 4$.

Esto contrasta con las $\sqrt{4}$, el cual podría ser interpretado como "una solución a $x^2 = 2$", en cuyo caso hay dos soluciones, $2$$-2$.

Answer 4

La historieta es una broma que no tolera el exceso de análisis. El "matemático de los padres" es el dibujante de la parodia de un padre. Un matemático real no iba a pedir una prueba de que la "solución única" en el caso de la suma de dos números enteros, debido a que dicha solicitud tendría poco sentido. Si debemos de crédito la solicitud con algún sentido, entonces tal vez una respuesta adecuada estaría en el nivel de "porque además es único, Estúpido!".

Answer 5

$+$ es una operación, lo que significa que es una función. El resto sigue de la definición de una función.